Эта удивительная бабочка diaethria neglecta с числом “89″ на крыльях встречается в лесах Боливии, Перу, Эквадора, Колумбии и Венесуэлы. Так же говорят, что иногда находят бабочек с номером “88″.
C1.1
а) Решите уравнение `12^{sin x} = 4^{sin x} * 3^{-sqrt(3)cos x}`.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[5pi//2; 4pi]`.
C1.2
а) Решите уравнение `(25^{cos x})^{sin x} = 5^{cos x}`.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-5pi//2; -pi]`.
C2.1
В правильной четырёхугольной призме `ABCDA_1B_1C_1D_1` сторона основания равна `11`, а боковое ребро `A_1A = 7`. Точка K принадлежит ребру `B_1C_1` и делит его в отношении `8`:`3` , считая от вершины `B_1`. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки `B`, `D` и `K`.
C2.2
В прямоугольном параллелепипеде `ABCDA_1B_1C_1D_1` известны рёбра `AB = 5`, `AD = 4`, `A_1A = 9`. Точка `O` принадлежит ребру `B_1B` и делит его в отношении `4`:`5` , считая от вершины `B`. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки `A`, `O` и `C_1` .
C3.1
Решите систему неравенств `3|x+1| + 1/2|x-2| - 3/2 x <= 8`, `x^3 + 6x^2 + (28x^2+2x-10)/(x-5) <= 2`.
C3.2
Решите систему неравенств `4|x+1| + 1/2|x-4| - 5/2 x <= 12`, `x^3 + 5x^2 + (28x^2+5x-30)/(x-6) <= 5`.
C3.3
Решите систему неравенств `log_{4-x} (x+3)/(x-4)^2 >= -2`, `x^3 + 6x^2 + (28x^2+2x-10)/(x-5) <= 2`.
C3.4
Решите систему неравенств `log_{5-x} (x+2)/(x-5)^2 >= -4`, `x^3 + 5x^2 + (28x^2+5x-30)/(x-6) <= 5`.
C4.1
В треугольник `ABC` вписана окружность радиуса `R`, касающаяся стороны `AC` в точке `D`, причём `AD = R`.
а) Докажите, что треугольник `ABC` прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон `AB` и `BC` в точках `E` и `F`. Найдите площадь треугольника `BEF`, если известно, что `R = 5` и `CD = 15`.
C4.2
В треугольник `ABC` вписана окружность радиуса `R`, касающаяся стороны `AC` в точке `D`, причём `AD = R`.
а) Докажите, что треугольник `ABC` прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон `AB` и `BC` в точках `E` и `F`. Найдите площадь треугольника `BEF`, если известно, что `R = 2` и `CD = 10`.
C5.1
Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `x^2 - |x - a + 6| = |x + a - 6| - (a - 6)^2` имеет единственный корень.
C5.2
Найдите все значения `a`, при каждом из которых уравнение `x^2 + (1 - a)^2 = |x - 1 + a| + |x - a + 1| ` имеет единственный корень.
C6.1
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Если какое-то число n , выписанное на доске, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n , а остальные числа, равные n , стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 6, 9, 12, 15.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 21, 23?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.
C6.2
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор - 3, -1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
