• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: олимпиадные задачи (список заголовков)
13:11 

Scoun
Мне обещали, что я буду летать, но я все время ездил в трамвае.
На доске написано четыре квадратных трехчлена `x^2 + a_i*x + b_i` `(i = 1, ..., 4)`, причем каждый из них имеет по два действительных корня. Может ли хулиган Вася так переставить числа `b_1, b_2, b_3` и `b_4`, что после этой перестановки ни один из трехчленов не будет иметь действительных корней?
Вообще никаких соображений. Помогите, пожалуйста, разобраться

@темы: Олимпиадные задачи, Школьный курс алгебры и матанализа

12:57 

Scoun
Мне обещали, что я буду летать, но я все время ездил в трамвае.
"В стране `n` городов и некоторые из них соединены дорогами. Известно, что в стране нет ни одного замкнутого несамопересекающегося маршрута длины `4`. Докажите, что количество дорог не превосходит
`(n-1)^2/4`."
Натолкните, пожалуйста.

@темы: Дискретная математика, Олимпиадные задачи, Теория графов

22:14 

wpoms
Step by step ...
III этап украинских олимпиад школьников 2013-14 у.г.

Областные олимпиады проводятся в два тура. В этом году желающие могли провести один из туров по заданиям, которые подготовили организаторы украинской олимпиады. В некоторых областях проводятся дополнительные отборочные туры для определения участников IV этапа олимпиады.
IV этап олимпиады планируется провести в Харькове с 17 по 23 марта. С Харьковской областной олимпиады и начнем.

Первый тур олимпиады проводился по общим заданиям. Условия задач второго тура областной олимпиады воспроизводятся по материалам сайта Задачи харьковской областной олимпиады по математике

Условия задач второго тура областной олимпиады 2013-14 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

19:31 

Сечение

Здравствуйте , помогите со следующей задачей
Сечение правильной четырехугольной пирамиды является правильным пятиугольником. Докажите, что боковые грани этой пирамиды правильные треугольники.
Пробовал решить аналитически , но ничего не получилось.
В подсказке к задаче написано , что нужно провести сечение и сделать на него проекцию пирамиды , но что-то у меня не получается.

@темы: Олимпиадные задачи

08:53 

Турнир Городов

Белый и пушистый (иногда)
На просьбу Alemand. Задачи сложного тура ТГ-35 (8-9 классы)

1. Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на одну шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на одну мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей? (3б)

2. На клетчатой доске 5 × 5 Петя отмечает несколько клеток. Вася выиграет, если сможет накрыть все эти клетки неперекрывающимися и не вылезающими за границу квадрата уголками из трёх клеток (уголки разрешается класть только «по клеточкам»). Какое наименьшее число клеток должен отметить Петя, чтобы Вася не смог выиграть? (5б)

3. На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, ее размеры могут отличаться от размеров стола.) (6б)

4. Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков? (7б)

5. Дано несколько белых и несколько черных точек. От каждой белой точки идет стрелка в каждую черную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту из стрелок, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на ее концах? (7б)

6. Из кубиков 1 × 1 × 1 склеен куб 3 × 3 × 3. Какое наибольшее количество кубиков можно из него выкинуть, чтобы осталась фигура с такими двумя свойствами:
• со стороны любой грани исходного куба фигура выглядит как квадрат 3 × 3 (глядя перпендикулярно этой грани, мы не увидим просвета — видны 9 кубиков фигуры);
• переходя в фигуре от кубика к кубику через их общую грань, можно от любого кубика добраться до любого другого? (9б)

7. На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A1, A2, . . . , A10, причём известно, что их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A1, A2, . . . , A9, а десятый кузнечик сидит на дуге A9A10A1. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A10? (9б)

@темы: Олимпиадные задачи

08:22 

турнир городов 2 марта

Может, кто-нибудь поделится условиями для 8-9 классов турнира городов ( сложный тур от 02.03.2014)

@темы: Олимпиадные задачи

23:19 

Турнир Городов Весенний Тур 2013-2014

6-7 кл., базовый вариант 16 февраля 2014 г.

1. В течение года цены на яблоки два раза поднимали на 50%, а перед Новым годом их стали продавать за полцены. Сколько стоит сейчас одно яблоко, если в начале года оно стоило 8000 руб.?

2. Даны 4 числа. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась. Каждое число ещё раз увеличили на 1. Изменится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то на сколько?

3. Мама испекла одинаковые с виду пирожки: 3 с капустой, 3 с мясом и один с вишней, и выложила их по кругу на круглое блюдо именно в таком порядке. Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. Оля знает, как лежали пирожки, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными. Как Оле наверняка добиться этого, надкусив не больше трех невкусных пирожков?

4. На переправу через пролив Босфор выстроилась очередь: первый Али-Баба, за ним 3 разбойника. Лодка одна, в ней могут плыть двое или трое (в одиночку плыть нельзя). Среди плывущих в лодке не должно быть людей, которые не дружат между собой. Смогут ли все они переправиться, если каждые двое рядом стоящих в очереди – друзья, а Али-Баба ещё дружит с разбойником, стоящим через одного от него?

5. Клетки таблицы 5×5 заполнены числами так, что в каждом прямоугольнике 2×3 (вертикальном или горизонтальном) сумма чисел равна нулю. Заплатив 100 рублей, можно выбрать любую клетку и узнать, какое число в ней записано.
а) Можно ли наверняка определить сумму всех чисел таблицы, истратив ровно 100 рублей?
б) Докажите, что невозможно наверняка определить сумму всех чисел таблицы, не задав ни одного вопроса.

8-9 кл., базовый вариант 16 февраля 2014 г.

1. Даны 100 чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась. Каждое число еще раз увеличили на 1. Изменится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то насколько?

2. Мама испекла одинаковые с виду пирожки: 7 с капустой, 7 с мясом и один с вишней, и выложила их по кругу на круглое блюдо именно в таком порядке. Потом поставила блюдо в микроволновку подогреть. Оля знает, как лежали пирожки, но не знает, как повернулось блюдо. Она хочет съесть пирожок с вишней, а остальные считает невкусными. Как Оле наверняка добиться этого, надкусив не больше трех невкусных пирожков?

3.Клетки таблицы 7x5 заполнены числами так, что в каждом прямоугольнике 2x3 (вертикальном или горизонтальном) сумма чисел равна нулю. Заплатив 100 рублей, можно выбрать любую клетку и узнать, какое число в ней записано. Какого наименьшего числа рублей хватит, чтобы наверняка определить сумму всех чисел таблицы?

4. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка L так, что AL в два раза больше медианы CM. Оказалось, что угол ALC равен `45^@`. Докажите, что ALи CM перпендикулярны.

5. На переправу через пролив Босфор выстроилась очередь: первый Али-Баба, за ним 40 разбойников. Лодка одна, в ней могут плыть двое или трое (в одиночку плыть нельзя). Среди плывущих в лодке не должно быть людей, которые не дружат между собой. Смогут ли все они переправиться, если каждые двое рядом стоящих в очереди – друзья, а Али-Баба еще дружит с разбойником, стоящим через одного от него?

10-11 кл. базовый вариант 16 февраля 2014 г.

1. У Чебурашки есть набор из 36 камней массами 1 г, 2 г, ..., 36 г, а у Шапокляк есть суперклей, одной каплей которого можно склеить два камня в один (соответственно, можно склеить 3 камня двумя каплями и так далее). Шапокляк хочет склеить камни так, чтобы Чебурашка не смог из получившегося набора выбрать один или несколько камней общей массой 37 г. Какого наименьшего количества капель клея ей хватит, чтобы осуществить задуманное?

2. В выпуклом четырехугольнике `ABCD` диагонали перпендикулярны. На сторонах `AD` и `CD` отмечены соответственно точки `M` и `N` так, что углы `ABN` и `CMB` прямые. Докажите, что прямые `AC` и `MN` параллельны.

3. Па переправу через пролив Босфор выстроилась очередь: первый Али-Баба, за ним 40 разбойников. Лодка одна, в ней могут плыть двое или трое (в одиночку нельзя). Среди плывущих в лодке не должно быть людей, которые не дружат между собой. Смогут ли все они переправиться, если каждые двое рядом стоящих в очереди друзья, а Али-Баба дружит еще и с разбойником, стоящим через одного от него?

4. Натуральные числа `a,b,c,d` попарно взаимно просты и удовлетворяют равенству `a*b + c*d = a*c - 10*b*d`. Докажите, что среди них найдутся три числа, одно из которых равно сумме двух других.

5. Дан выпуклый четырехугольник `ABCD`. Пешеход Петя выходит из вершины `A`, идет по стороне `AB` и далее по контуру четырехугольника. Пешеход Вася выходит из вершины `A` одновременно с Петей, идет по диагонали `AC` и одновременно с Петей приходит в `C`. Пешеход Толя выходит из вершины `B` в тот момент, когда ее проходит Петя, идет по диагонали `BD` и одновременно с Петей приходит в `D`. Скорости пешеходов постоянны. Могли ли Вася и Толя прийти в точку пересечения диагоналей `O` одновременно?



Посмотрите, кому интересно можете скидывать свои решения в комментах.

@темы: Олимпиадные задачи

14:11 

Подготовка к олимпиадам

Здравствуйте. Буквально пару недель назад прошел региональный этап всероссийской олимпиады. Ребята из моей школы участвовали в нем, но, к сожалению, не заняли призовых мест. Они хорошо соображают и без особых проблем проходят на региональный этап. Регион у нас довольно сильный (Татарстан) и бороться с ребятами из сильных школ очень сложно, а в городе никто подготовкой к олимпиадам не занимается.

Несколько ребят попросили меня позаниматься с ними. Ребята сейчас в 8-9 классе, первую задачу регионального этапа они решают, с остальными дело плохо. Подскажите, пожалуйста, как лучше построить процесс подготовки, какие методики использовать. Благодаря книжной полке сообщества, есть огромное количество литературы, но я не знаю на каких книгах лучше строить подготовку.
запись создана: 17.02.2014 в 20:09

@темы: Олимпиадные задачи, Посоветуйте литературу!

15:31 

Всероссийская олимпиада по математике.

Сегодня состоялась всероссийская олимпиада по математике. Вот задачи 11 класса:

1. Дан выпуклый 7-угольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трех углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырех углов. Докажите, что у этого 7-угольника найдутся четыре равных угла.

2. На доске написано выражение `(ace)/(bdf)`., где `a, b, c, d, e, f` - натуральные числа. Если число a увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число c на 1, то его значение увеличится на 4, если же в исходном выражении увеличить число e На 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может принимать `bdf`?

3. Все клетки квадратной таблицы `n` на `n`пронумерованы в некотором порядке числами от `1` до `n^2`. Петя делает ходы по следующим правилам. Первым ходом он ставит ладью в любую клетку. Каждым последующим ходом Петя может либо поставить новую ладью на какую-то клетку, либо переставить ладью из клетки с номером a ходом по горизонтали или по вертикали в клетку с номером большим, чем a. Каждый раз, когда ладья попадает в клетку, эта клетка немедленно закрашивается; ставить ладью на закрашенную клетку запрещено. Какое наименьшее количество ладей потребуется Пете, чтобы независимо от исходной нумерации он смог за несколько ходов закрасить все клетки таблицы?

4.Плоскость `a`пересекает ребра `AB, BC, CD, DA` треугольной пирамиды `ABCD` в точках `K, L, M, N` соответственно. Оказалось, что двугранные углы `(KLA, KLM), (LMB, LMN), (MNC, MNK) , (NKD. NKL)` равны. (Здесь через `(PQR, PQS)` обозначается свугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS) Докажите, что проекции вершин `A, B, C, D` на плоскость `a` лежат на одной окружности.

@темы: Олимпиадные задачи

09:47 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Нижегородская область

Департамент образования Администрации города Сарова


Задания 2013/14, 2016/17 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

13:17 

неравенство с петербургской олимпиады

Здравствуйте , помогите доказать следуещее неравенство a+b+c+d+(1/abcd)>=18 если a^2+b^2+c^2+d^2=1 и a , b , c , d больше нуля

@темы: Доказательство неравенств, Олимпиадные задачи

17:06 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Республика Коми


Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г



@темы: Олимпиадные задачи

13:55 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Ярославская область

Задания 2008-2011 г.г.

Задания 2013/14, 2016/17 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

07:24 

wpoms.
Step by step ...
Республиканская олимпиада по математике. Казахстан


Задания 2012-2013 у.г. (Задания скопированы с сайта matol.kz)


@темы: Олимпиадные задачи

06:42 

wpoms.
Step by step ...
Жаутыковская олимпиада по математике. Казахстан

Сайт олимпиады

Задания 2014 г. (Материалы сайта www.guas.info)


@темы: Олимпиадные задачи

08:14 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Кировская область

Олимпиады Кировской Области

Задания 2013/14 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

17:14 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Санкт-Петербург

Санкт-Петербургская олимпиада по математике

Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.



@темы: Олимпиадные задачи

17:13 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Ленинградская область


Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.



@темы: Олимпиадные задачи

14:24 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Курская область


Задания 2013/14, 2016/17 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

09:33 

Олимпиадные задачи алгебра

Прошу поделится идеями в решении следующих двух задач:

1. Существуют ли такие 100 различных чисел, что каждое из них является делителем суммы всех остальных (девяносто девяти) чисел?

2. Натуральное число n имеет ровно шесть нетривиальных (т. е. отличных от n и 1) делителей. Сумма этих шести делителей равна 735. Найти все возможные значения n.

Заранее благодарен всем откликнувшимся, т. к. посмотреть сообщения смогу не раньше 22-00 по московскому времени.

@темы: Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная