• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: олимпиадные задачи (список заголовков)
13:15 

Обсуждение решений

All_ex
Эллипс - это круг, который можно вписать в квадрат 25х40
По просьбам Гостя создаю топик для обсуждения решений муниципального этапа Нижегорожской областной олимпиады 2016-2017 года.

Условия можно посмотреть в топике олимпиады...

Присоединяйтесь все желающие...

@темы: Олимпиадные задачи

16:39 

43 Московская районная олимпиада по математике

vyv2
Сопротивление бесполезно
Условия задач появились в Интернете по крайне мере за день до начала олимпиады - смотрите otvet.mail.ru/question/196338833
Не случайно участники олимпиады заметили: " Теперь понятно почему были некоторые особы сделавшие за 30 минут "

@темы: Олимпиадные задачи

18:24 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников в Алтайском крае

Центр по работе с одаренными детьми в Алтайском крае


Задания 2016/17 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

08:29 

Турнир городов. 5-6 задачи 10-11 класс

Нужна помощь в решении следующих задач с ТГ.
5. Можно ли квадрат со стороной 1 разделить на две части и покрыть ими какой-нибудь круг диаметра больше 1?
6. Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен Р(х) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. за ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число а по своему выбору, которое он еще не называл, а Петя в ответ говорит сколько решений в целых числах имеет уравнение Р(х)=а. Вася выигрывает, как только Петя два раза ( не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантировано выиграть.

@темы: Олимпиадные задачи

19:14 

Всесибирская олимпиада

wpoms.
Step by step ...
Всесибирская открытая олимпиада школьников
Сайт олимпиады
Архив ВООШ

Олимпиада 2016-2017 гг. по математике
Первый этап, 23-10-2016

11 класс

11.1. Найти все натуральные числа `n` такие, что существуют `n` последовательных натуральных чисел, сумма которых равна `n^2`.

11.2. Найти решение уравнения `cos^2(x) + cos^2(2*x) + cos^2(3*x) = 1`.

11.3. При каком наименьшем `n` выполнено условие: если в таблице размера `6 xx 6` в произвольном порядке расставить `n` крестиков (не более одного в клетке), то обязательно найдутся три клетки, образующие полоску длины 3, вертикальную или горизонтальную, в каждой из которых стоит крестик?

11.4. Найдите все натуральные числа `x` такие, что произведение всех цифр в десятичной записи `x` равно `x^2 - 10*x - 22 = 0`.

11.5. На плоскости дан отрезок `AB` и на нём произвольная точка `M`. На отрезках `AM` и `MB` как на сторонах построены квадраты `AMCD` и `MBFE`, лежащие по одну сторону от `AB`, и `N` - точка пересечения прямых `AF` и `BC`. Докажите, что при любом положении точки `M` на отрезке `AB` каждая прямая `MN` проходит через некоторую точку `S`, общую для всех таких прямых.

@темы: Олимпиадные задачи

08:38 

Математический конкурс в ЮУрГУ

wpoms.
Step by step ...
Математический конкурс в ЮУрГУ

Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин

Задания конкурса № 44

Задача 259. [Хоровод] В хоровод стало 40 детей. Оказалось, что 22 из них держали за руку мальчика, а 30 — девочку. Сколько было мальчиков в хороводе?

Задача 260. [Белые мыши] Имеется 100 бутылок с вином, в одной из которых вино испорчено. Требуется в течение часа при помощи белых мышей обнаружить плохое вино. Если мышь выпьет плохого вина, через час она станет синей. Разрешается накапать вина из разных бутылок (но не более чем из пяти) каждой мыши, и дать им выпить одновременно. Какого наименьшего числа мышей достаточно для решения поставленной задачи?

Задача 261. [Прямой угол] В треугольнике ABC проведены биссектрисы `A A_1`, `B B_1`, `C C_1`. Известно, что `/_ABC = 120^@`. Докажите, что треугольник `A_1B_1C_1` — прямоугольный.

Задача 262. [Игра в определитель] Первоначально таблица 5x5 пуста. Аня выбирает любую клетку и записывает в неё любое число от 1 до 25. Затем Ваня в другую клетку записывает число от 1 до 25, отличное от записанного Аней. И далее игроки по очереди записывают в незанятые клетки числа от 1 до 25, отличные от ранее записанных. Если определитель соответствующей матрицы делится на 25, выигрывает Аня; в противном случае побеждает Ваня. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 263. [Числа по кругу] При каких `n > 3` можно по кругу расставить числа 1, 2,..., `n- 1` так, чтобы разность квадрата каждого и произведения соседних делилась на `n`?

Задача 264. [Рулетка] На игровой рулетке `n` секторов с числами 1, 2,..., `n`. Сколько в среднем раз нужно прокрутить барабан, чтобы общая сумма выпавших очков стала не меньше `n`?

@темы: Олимпиадные задачи, Головоломки и занимательные задачи

04:32 

wpoms
Step by step ...
ТУЙМААДА-2016 (15-22 июля, Якутск)

Старшая лига

читать дальше

@темы: Олимпиадные задачи

10:04 

wpoms
Step by step ...
57 Международная математическая олимпиада

Агаханов Н. Х., руководитель сборной команды
Терёшин Д. А., заместитель руководителя сборной команды
Пратусевич М. Я., заместитель руководителя сборной команды

Вепрев Г. А., Лицей № 2, г. Рыбинск, Ярославская область
Губкин П. В., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Карагодин Н. А., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Салимов Р. И., Школа № 1329, Москва
Фролов И. И., Школа № 1329, Москва
Юргин Г. А., Лицей «Вторая школа», Москва

Успехов!



Day 1.

1. Triangle `BCF` has a right angle at `B`. Let `A` be the point on line `CF` such that `FA=FB` and `F` lies between `A` and `C`. Point `D` is chosen so that `DA=DC` and `AC` is the bisector of `/_DAB`. Point `E` is chosen so that `EA=ED` and `AD` is the bisector of `/_EAC`. Let `M` be the midpoint of `CF`. Let `X` be the point such that `AMXE` is a parallelogram. Prove that `BD,` `FX` and `ME` are concurrent.

2. Find all positive integers `n` for which each cell of `n x n` table can be filled with one of the letters I, M, O in such way that:
- in each row and each collumn, one third of the entries are I, one third are M, one third are O; and
- in any diagonal, if the number of entries on the diagonal is a multiple of three, then one third of the entries are I, one third are M, one third are O.
Note. The rows and columns of an `n x n` table are each labelled `1` to `n` in a natural order. Thus each cell corresponds to a pair of positive integer `(i,j)` with `1 <= i,j <= n`. For `n>1`, the table has `4n-2` diagonals of two types. A diagonal of first type consists all cells `(i,j)` for which `i+j` is a constant, and the diagonal of this second type consists all cells `(i,j)` for which `i-j` is constant.

3. Let `P=A_1A_2...A_n` be a convex polygon in the plane. The vertices `A_1, A_2, ... A_n` have integral coordinates and lie on a circle. Let `S` be the area of `P`. An odd positive integer `n` is given such that the squares of the side lengths of `P` are integers divisible by `n`. Prove that `2S` is an integer divisible by `n`.

Day 2.

4. A set of postive integers is called fragrant if it contains at least two elements and each of its elements has a prime factor in common with at least one of the other elements. Let `P(n)=n^2+n+1`. What is the least possible positive integer value of `b` such that there exists a non-negative integer `a` for which the set
`{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)}`

is fragrant?

5. The equation
`(x-1)(x-2)...(x-2016)=(x-1)(x-2)...(x-2016)`

is written on the board, with `2016` linear factors on each side. What is the least possible value of `k` for which it is possible to erase exactly `k` of these `4032` linear factors so that at least one factor remains on each side and the resulting equation has no real solutions?

6. There are `n >= 2` line segments in the plane such that every two segments cross and no three segments meet at a point. Geoff has to choose an endpoint of each segment and place a frog on it facing the other endpoint. Then he will clap his hands `n-1` times. Every time he claps, each frog will immediately jump forward to the next intersection point on its segment. Frogs never change the direction of their jumps. Geoff wishes to place the frogs in such a way that no two of them will every occupy the same intersection point at the same time.
(a) Prove that Geoff can always fulfill his wish if `n` is odd.
(b) Prove that Geoff can never fulfill his wish if `n` is even.



@темы: Олимпиадные задачи

22:52 

Задача с Санкт-Петербургской региональной студенческой математической олимпиады 2009г

Пусть `f(x) = sum_(k=1)^(oo) cos(4^k*x)/2^k`. Доказать существование такой константы `C > 0` , что для всех `x_1, x_2 in RR => |f(x_1) - f(x_2)| <= C*(|x_1 - x_2|)^(1/2)`.

Исходный функциональный ряд сходится равномерно (его можно сравнить с рядом `sum_(k=1)^(oo) 1/2^k`). Можно ли сделать вывод о существовании `C` из равномерной сходимости функционального ряда?

@темы: Олимпиадные задачи, Ряды

01:26 

Решить в целых числах

Муссон
[Солнце не беспокоится ни о чем. И цветы просто распускаются]
Здравствуйте.
Имеется уравнение ab/c + bc/a + ca/b = 3
Домножаю обе части на abc, a<>0, b<>0, c<>0
Дальше зависла. Пыталась группировать слагаемые, решать квадратное относительно одной из переменных, раскладывать на множители, но к желаемому результату прийти не могу, дико туплю. Знаю, что есть метод оценки неравенствами, но в данном случае не уверена, что его использовать можно (не знаю, как его здесь применить).
Подскажите, пожалуйста, какой шаг нужно сделать, каким средством следует воспользоваться. Может, спасет кратность? Заранее благодарю за подсказки.

@темы: Олимпиадные задачи

19:25 

Задача с II тура открытой студенческой интернет-олимпиады по математике

`{(x_1 + x_2 + cdots + x_n = -1), (2*x_1 + 2^2 * x_2 +cdots + 2^n * x_n = -1) , (3*x_1 + 3^2 * x_2 +cdots+ 3^n * x_n = -1), (ldots), (n*x_1 + n^2 * x_2 + cdots+ n^n * x_n = -1):}`
Найти `(2015)! * (x_((n-1)o) + 1008* x_((n)o))` при `n = 2016`

Попытки решения:
`x_((n)o)` можно найти используя формулу Крамера. Получается `x_((n)o) = (-1)^n/((n)!)`.
А вот что делать дальше? Получить `x_((n-1)o)` по Крамеру не получилось.
Рассматривая данную систему для малых `n` можно прийти к предположению о том, что `x_((n-1)o) = ((-1)^n*sum_(k=1)^(n) k)/((n)!)` (маткад тоже выдал такой ответ). Но подтвердить это предположение не получается ( по индукции всё плохо выходит).

@темы: Олимпиадные задачи, Системы линейных уравнений

07:23 

Помогите, пожалуйста, с решением следующей задачи: Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырехугольника, каждый из которых вписан в окружность радиуса корень из 3. Задача с турнира городов. Думаю конкурс уже прошел во всех городах.

@темы: Олимпиадные задачи

15:39 

wpoms
Step by step ...

Задания муниципального этапа по математике 2015-2016 учебного года


01 Республика Адыгея
Республиканская естественно-математическая школа
04 Республика Алтай

22 Алтайский край
Видеоразборы заданий муниципального этапа по математике
28 Амурская область

29 Архангельская область
Образование Архангельской области
30 Астраханская область

02 Республика Башкортостан
Отдел образования г. Октябрьский
31 Белгородская область

32 Брянская область
Отдел образования Дубровского района
03 Республика Бурятия

33 Владимирская область
Управление образования администрации муниципального образования Судогодский район
34 Волгоградская область

35 Вологодская область

36 Воронежская область

05 Республика Дагестан

79 Еврейская автономная область

75 Забайкальский край

06 Республика Ингушетия

37 Ивановская область
Региональный портал Ивановской области
38 Иркутская область
Образовательный портал г. Братска
07 Кабардино-Балкарская Республика

39 Калининградская область

08 Республика Калмыкия

40 Калужская область
Отдел образования Малоярославецкой районной администрации
41 Камчатский край

09 Карачаево-Черкесская Республика

10 Республика Карелия
Информационно-методический центр г. Олонец
42 Кемеровская область
Управление образования г. Юрги
43 Кировская область

11 Республика Коми

44 Костромская область
Образовательный портал Костромской области
23 Краснодарский край
Центр дополнительного образования для детей
24 Красноярский край
Информационно-методический центр г. Шарыпово
91 Республика Крым

45 Курганская область

46 Курская область

47 Ленинградская область

48 Липецкая область

49 Магаданская область

12 Республика Марий Эл

13 Республика Мордовия
Республиканский лицей
77 Москва
Московский центр непрерывного математического образования
50 Московская область
Региональный центр поддержки олимпиадного движения
51 Мурманская область

83 Ненецкий автономный округ

52 Нижегородская область
Департамент образования г. Саров
53 Новгородская область

54 Новосибирская область

55 Омская область
Портал региональной системы выявления и развития молодых талантов
56 Оренбургская область

57 Орловская область

58 Пензенская область

59 Пермский край
Региональные олимпиады Пермского края
25 Приморский край

60 Псковская область

61 Ростовская область

62 Рязанская область
Олимпиады школьников г. Рязани
63 Самарская область

78 Санкт-Петербург

64 Саратовская область

14 Республика Саха (Якутия)

65 Сахалинская область

66 Свердловская область
Дворец детского и юношеского творчества г. Нижний Тагил
15 Республика Северная Осетия — Алания

67 Смоленская область

26 Ставропольский край

68 Тамбовская область

16 Республика Татарстан
Электронное образование в Республике Татарстан
69 Тверская область

70 Томская область

71 Тульская область

17 Республика Тыва

72 Тюменская область

18 Удмуртская Республика
Центр столичного образования, г. Ижевск
73 Ульяновская область

27 Хабаровский край

19 Республика Хакасия

86 Ханты-Мансийский автономный округ — Югра
Департамент образования Нефтеюганского района
74 Челябинская область
Олимпийский портал
20 Чеченская Республика

21 Чувашская Республика

87 Чукотский автономный округ

89 Ямало-Ненецкий автономный округ
Департамент образования г. Салехард
76 Ярославская область
Межшкольный методический центр Угличского района


Обновления
2016.02.05 Добавлена информация по Удмуртской Республике.

@темы: Олимпиадные задачи, Поиск, Ссылки

13:37 

Помогите найти пособия

Teachermugege2009
Не поможет ли кто ссылками где можно скачать две книжки в электронном виде:
- Коннова Е.Г. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад. 5-8 класс,
изд-во "Легион", Ростов-на-Дону, 2010 г.
- Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. 5-6 класс, изд-во "Дрофа", 2013 г.
Сама я пробовала их искать в Инете, но безрезультатно,
а цены в магазинах уж сильно кусачие.

@темы: В помощь учителю, Олимпиадные задачи, Поиск книг

20:53 

помогите, пожалуйста, с решением следующей задачи: Решить в целых числах уравнение x^2+x=y^4+y^3+y^2+y.

@темы: Олимпиадные задачи

06:56 

Холщовый мешок
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады в Москве проводился 6 декабря 2015 года.
Задачи и решения: olympiads.mccme.ru/mmo/okrug/okr15.htm

Удивительная задача.

8.4. Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встает и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?
Ответ: 11.
Решение. Оценка. Заметим, что все стулья одновременно занять невозможно, так как в тот момент, когда сядет человек на последний незанятый стул, один из его соседей встанет. Следовательно, одновременно сидящих может быть не больше, чем 11.
Пример. Покажем, как посадить 11 человек. Пронумеруем стулья числами от 1 до 12. Первый стул занять легко. Второй стул займем в два этапа. На первом этапе человек садится на третий стул, а на втором этапе посадим человека на второй стул, а сидящий на третьем стуле встанет. Дальше действуем аналогично: если заняты стулья с номерами от 1 до k, то сначала посадим человека на стул с номером k + 2, а затем посадим на стул с номером k + 1, освобождая при этом стул с номером k + 2. После того как эта операция будет проделана для всех k от 1 до 10, стулья с номерами от 1 до 11 будут заняты, а двенадцатый стул — свободен.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

18:20 

Холщовый мешок
Задачи Турнира городов можно найти на сайте problems.ru. Если отдельные задачи пропадут на время (а после проведения очередного мероприятия вновь станут доступными широкой общественности), то альтернативные решения задач на английском языке можно почитать в библиотеке либген и на сайте www.math.toronto.edu. В библиотеке книги проще искать по запросу Tournament Towns. Решения за отдельные годы на русском языке можно посмотреть на сайте А. Шаповалова. Добавляйте в комментариях ссылки на другие источники информации о Турнире городов!

@темы: Литература, Олимпиадные задачи, Ссылки

00:14 

Объединение кругов

Фигура Ф представляет собой пересечение `n` кругов (`n>=2`, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Нет ли дыр в таком рассуждении?

Фиксируем первый круг.
Докажем, что число сторон будет больше если оставшиеся нефиксированные `n-1` кругов попарно не пересекаются между собой будучи пересеченные с фиксированной окружностью.
От противного. Пусть `k`-количество попарных пересечений этих `n-1` кругов, тогда они делят фиксированную окружность на `n-(k+1)` частей. В случае `k=0` (нет пересечений между ними) получаем, что `n-1` круг делит её на `n-1` часть. Но `(n-1)-k < n-1`. Следовательно, не оптимальный вариант.

Случай если они пересекаются попарно, но не пересекаются с фиксированной окружностью. Вот тут-то и дыра у меня была, что не учел случай.

Понятно, что предположение тут только одно `2n-2`.

Прочитал решение на проблемсе www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id... и застрял прямо в самом последнем неравенстве
Поэтому, сложив, получим `l <= 2(n + k - 1) - 2k = 2n - 2`. Это из каких соображений так складывают?
Вот возьмем 1, 2, 1 и 3, разбиваем на две расстановки 1, 2 и 1, 3.
Система
`{(l_1 <= 2(n_1-1)), (l_2 <= 2(n_2-1)):}`, сложив, получим `l <= 2(n_1+n_2-2)=2(n-1+k-2)=2(n+k-1)-4`.

@темы: Олимпиадные задачи

10:43 

Холщовый мешок
Пишет kostyaknop:
22.11.2015 в 09:20


Насколько я понимаю по полному отсутствию комментариев, никто из читателей не торопится искать ошибки.
А поскольку я тоже не вижу существенных огрехов в этом тексте, то прошу автора самостоятельно указать на список того, что он считает ошибками, чтобы мы их поправили и не тиражировали. Разумеется, если согласимся с замечаниями.

URL комментария

Я и сам удивлен тем, что никто не предложил правильного решения. Очевидно, что поставить плечом к плечу 2015 сотрудников вдоль линии протяженностью 1 километр затруднительно, следовательно их нужно немного отодвинуть от внешней границы охраняемого объекта. Это приводит к простому решению : равномерно распределим всех сотрудников по окружности с центром в центре охраняемого объекта и радиусом миллион миллионов километров. Все условия выполнены - и сотрудники вокруг объекта и с расстояниями все хорошо.

Теперь посмотрим на официальное решение.

читать дальше

@темы: Олимпиадные задачи, Головоломки и занимательные задачи

09:10 

mkutubi

Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2009: Заключительные этапы /Н. Х. Агаханов и др. Под ред. Н. Х. Агаханова. — 2-е изд., испр. и доп. —М.:МЦНМО, 2010.— 552 с.
В книге приведены задачи заключительных этапов Всероссийских математических олимпиад школьников 1993–2009 годов с ответами и полными решениями. Все приведенные задачи являются авторскими. Многие из них одновременно красивы и трудны, что отражает признанный в мире высокий уровень российской олимпиадной школы. Часть задач уже стала олимпиадной классикой.
Книга предназначена для подготовки к математическим соревнованиям высокого уровня. Она будет интересна педагогам, руководителям кружков и факультативов, школьникам старших классов. Для удобства работы приведен тематический рубрикатор.
Первое издание книги вышло в 2007 г. под названием «Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993–2006: Окружной и финальный этапы».


Примечание. Похоже, что появившийся в сети pdf подготовлен в издательстве МЦНМО, но на сайте Свободно распространяемые издания этой книги нет, а сайт www.math.ru не отвечает. Если в ближайшее время не удастся найти оригинальный файл на официальных сайтах, то ссылка будет удалена. "Старые" и ленивые посетители сообщества, не умеющие искать информацию в сети, могут обращаться за ссылками в u-mail.


Бонус : НИКОму не уйти от отвественности

@темы: Литература, Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная