• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: олимпиадные задачи (список заголовков)
22:56 

Образцы олимпиадных заданий для муниципального этапа ВОШ

Образцы олимпиадных заданий для муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2013/2014 учебном году

11 класс

1. Числа `x`, `y`, `z` и `t` таковы, что `x>y^3`, `y>z^3`, `z>t^3`, `t>x^3`. Докажите, что `xyzt>0`.

2. Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из натуральных чисел, содержит число `a>1` и его квадрат. Докажите, что она также содержит и куб числа `a`.

3. Квадратный трёхчлен `f(x)` таков, что каждое из уравнений `f(x)=x-1` и `f(x)=2-2x` имеют ровно по одному решению. Докажите, что трёхчлен `f(x)` не имеет корней.

4. Пусть `alpha`, `beta`, `gamma` - плоские углы трёхгранного угла. Докажите, что числа `sin(alpha/2)`, `sin(beta/2)`, `sin(gamma/2)` являются длинами сторон некоторого треугольника.

5. В клетках квадрата 7x7 расставлены действительные числа. Оказалось, что сумма чисел в любом трёхклеточном уголке (повёрнутом как угодно) положительна. Обязательно ли сумма чисел во всём квадрате также положительна?

Источник


@темы: Олимпиадные задачи

12:22 

podaite ideu

Vsem privet. Podskajite hod reshenii zadachi:

nado naiti NOD chisel 15n+18 i 45n+12 (chisla vziati na obym)
Найти НОД чисел `(15n + 18)` и `(45n + 12)`, `n in NN`
n - naturalnoe chislo

@темы: Теория чисел, Олимпиадные задачи

21:47 

пожалуйста, помогите решить

rapuncelive
Мир тесен. Куда не глянь - всюду ты.
готовлюсь к олимпиаде, в общем
1) обчислите sin(x+y) - cos(x-y), если sin(x+y) - cos(x-y)=2
решаю:
sin(x+y) - cos(x-y) = sinxcosy + sinycosx - (cosxcosy + sinxsiny) = sinxcosy + sinycosx - cosxcosy - sinxsiny = sinx(cosy-siny)-cosx(cosy-siny)=...
а дальше ступор. хочу сделать (sinx-cosy), а что с тем, что в скобках делать? перемножать?
2) и задача, которая вынесла мне мозг:
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что BC=AC и AB=BD. Докажите, что угол ABC = 60 градусов.
то что я поняла, и до чего дошла, дальше тупик:

@темы: Олимпиадные задачи

21:32 

Осенняя олимпиада МГТУ им. Баумана 2013

Цель «Осенних олимпиад» − оценить текущее состояние уровня подготовки учащихся применительно к требованиям МГТУ им. Н.Э. Баумана и оказать им помощь в подготовке к поступлению в Университет.

Победители и призеры «Осенних олимпиад» по математике и физике получат сертификат на право участия в заключительных этапах Олимпиады школьников «Шаг в будущее» по общеобразовательному предмету «математика» и комплексу предметов «техника и технологии», проводимых МГТУ им.Н.Э. Баумана весной 2014 г., по результатам которых им могут быть предоставлены льготы при поступлении в Университет в 2014 г.

1. Из пунктов `A` и `B` одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Когда второй проехал половину пути, первому осталось проехать до пункта `B` 14 км, а когда первый прибыл в пункт `B`, второму осталось проехать до пункта `A` 10,5 км. На каком расстоянии от пункта `A` велосипедисты встретились?

2. Решите уравнение `3 * 2^(sqrt(x)) + 2^(3-sqrt(x)) =14`.

3. Какое наименьшее значение может принять сумма первых `n` членов арифметической прогрессии `(a_n)`, если `a_24=2`, `a_27=11`?

4. Найдите все целочисленные решения системы `2sin(pi(y+3))/6+sqrt(2sin^2 (pix)/6-4sin^2 (piy)/6 cos (pix)/3 + 4cos (pix)/3) = 0`, `|x|+|y-3| <= 3`, `y > x+4`.

5. Решите неравенство ` (|x+6| - sqrt(3x+22))/(sqrt(-2x-6)-sqrt(x^2+11x+30)) >= 0`.

6. Найдите множество значений функции `f(x) = g(g^2(x))`, где `g(x) = 9//(|x-3|+3)`.

7. В прямоугольную трапецию `ABCD` c углом `A`, равным `2arccos0.8`, вписана окружность. Вторая окружность с радиусом `0.75` касается сторон `AB` и `AD` трапеции и вписанной в нее окружности. Найдите площадь треугольника `ABD`.

8. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций `y = 0.5x^2-x-1` и `y = x^2 + x`.

9. Определите все значения `a`, при которых уравнение `(x-2)^2 = 4a(|x| - 1)` имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений `a`.

10. Через диагональ прямоугольного параллелепипеда и точку, лежащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ, проведена плоскость так, чтобы площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью была наименьшей. Найдите длины сторон основания параллелепипеда, если известно, что диагонали сечения равны 12 и 8, а угол между ними 60°.

Задания картинкой

Источник: http://www.alexlarin.com

@темы: Олимпиадные задачи

17:35 

Задача про возрастающие/убывающие подпоследовательности последовательности:)

Добрый день,форумчане! Помогите разобраться с решением такой задачи:

"Докажем, что любая последовательность из `mn + 1` попарно различных чисел содержит либо возрастающую последовательность из `m + 1` чисел, либо убывающую последовательность из `n + 1` чисел.

Сопоставим члену `a_k` данной последовательности два числа `x_k` и `y_k`, где `x_k` – наибольшая длина возрастающей последовательности, начинающейся с `a_k`, `y_k` – наибольшая длина убывающей последовательности, начинающейся с `a_k`.
Предположим, что `x_k <= m` и `y_k <= n` для всех `k`. Тогда количество всех различных пар `(x_k, y_k)` не превосходит `mn`. Поэтому `x_k = x_l` и `y_k = y_l` для некоторых номеров `k, l`.
Пусть для определённости `k < l`. Тогда если `a_k < a_l`, то `x_k > x_l`, а если `a_k > a_l`, то `y_k > y_l`. Противоречие. Следовательно, `x_k > m` или `y_k > n` для для некоторого `k`".


Я не понимаю с момента:"Поэтому `x_k = x_l` и `y_k = y_l`..."
Не могли бы вы объяснить,зачем вообще делается такая замена??

@темы: Математическая логика, Математический анализ, Олимпиадные задачи

16:53 

Два интересных сайта

mkutubi
Сайт Андрея Леоновича Тоома
www.de.ufpe.br/~toom/




Сайт Александра Васильевича Шаповалова
Пишет Гость
Я как автор рад интересу к нашей с Л.Э.Медниковым книге и к олимпиадным задачам. Рекомендую посетить мою страничку www.ashap.info Там вы сможете найти указанную книгу и ещё много чего, найти и скачать, и что характерно - СОВЕРШЕННО ЛЕГАЛЬНО.
С уважением,
А.Шаповалов

@темы: Ссылки, Олимпиадные задачи, Люди, Литература

19:37 

Турнир Городов

Сегодня был сложный тур Турнира Городов. Вот задачи:
1. (5 баллов) Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в черный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящся строго внутри одного из этх квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка - белого или черного?

2. (6 баллов) Найдите все n, для которых верно утверждение:
для любых двух многочленов `P(x)` и `Q(x)` степени `n` найдутся такие одночлены `a*x^k` и `b*x^l`, где `0<=k,l<=n`, что графики многочленов `P(x)+a*x^k` и `Q(x)+b*x^l` не будут иметь общих точек.

3. (6 баллов) Дан правильных треугольник ABC с центром О. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает описанную окружность треугольника AOB в точках D и E. Докажите, что точки A, O и середины отрезков BD, BE лежат на одной окружности.

4. (7 баллов) Каждое ли целое число можно записать как сумму кубов нескольких целых чисел, среди которых нет одинаковых?

5. Существуют ли такие функции `f` и `g`, принимающие только целые значения, что для любоо целого x выполнены соотношения
а) (3 балла) `f(f(x))=x`, `g(g(x))=x`, `f(g(x)) > x`, `g(f(x)) > x`
б) (5 баллов) `f(f(x)) < x`, `g(g(x)) < x`, `f(g(x)) > x`, `g(f(x)) > x`

6. (9 баллов) Петя и Вася играют в такую игру. Сначала на столе лежит 11 кучек по 10 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждым ходом игрок берет 1,2 или 3 камня, но Петя каждый раз выбирает все камни из любой одной кучи, а Вася всегда выбирает все камни из разных кучек (если их больше одного). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

7. (14 баллов) На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причем через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком/)

@темы: Олимпиадные задачи

23:37 

Треугольник

Помогите, пожалуйста, с идеями решения следующей задачи: На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВ и АС треугольника АВС отметили точки К и М так, АК=СМ и сумма углов АМК и МКВ равна 60 градусов. Докажите, что КМ=ВС.

@темы: Олимпиадные задачи, Планиметрия

22:17 

помогите пожалуйста решить олимпиадные задачи

rapuncelive
Мир тесен. Куда не глянь - всюду ты.
вроде бы и простейшие, но путаюсь немного в решении:
1) в один ряд записаны числа от 1 до 9. Нужно поставить знаки математических операций между некоторыми из них так, чтобы значение выражения равнялось 100
пояснение: как бы я не старалась, одно число по любому оказывалось лишним. оптимальное решение перемножить 8*9 и остальные числа прибавить, но даже в этом случае получается лишь 99, а не 100.
2) автомобиль ехал из села в город со скоростью 60 км\ч, а назад - со скоростью 40 км\ч. Какова его средняя скорость?
нужно решать с помощью уравнения? но что через что выразить, не пойму ._.
3) какое число нужно отнять от числителя дроби дроби 52367\47633 и прибавить его к знаменателю, чтобы после сокращения получить дробь 17\83
выразить неизвестное через "х"?
4) цена доллара в гривнах увеличилась на 25%. На сколько процентов при этом уменьшилась цена гривни в долларах?
(вообще лес дремучий, расскажите, пожалуйста, от чего отталкиваться)

@темы: Олимпиадные задачи

00:43 

Турнир Городов

Сегодня был базовый тур Турнира городов. Если кому-то интересно, то вот задачи:

8-9 классы
1. В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. Более сильный всегда побеждает более слабого. Борцы разбились на пары и провели поединки. Затем разбились на пары по-другому и снова провели поединки. Призы получили те, кто выиграл оба поединка. Каково наименьшее возможное количество призёров?
2. Найдется ли десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, такое, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырехзначное число?
3. Наибольший общий делитель натуральных чисел a,b будем обозначать (a,b). Пусть натуральное число n таково, что (n,n+1)<(n,n+2)<… <(n,n+35). Докажите, что (n,n+35)<(n,n+36).
4. На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки K и L так, что AK=CL и ∠ALK+∠ LKB=60°. Докажите, что KL=BC. Обсуждение
5. На шахматной доске стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по-прежнему не будут бить друг друга. (Все восемь ладей передвигаются “одновременно”, то есть если, например, две ладьи бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)

10-11 классы
1. Найдется ли десятизначное число, записанное десятью различными цифрами, такое, что после вычеркивания из него любых шести цифр получится составное четырехзначное число?
2. На сторонах треугольника ABC построены три подобных треугольника: YBA и ZAC - во внешнюю сторону, а XBC - внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке.)Докажите, что AYXZ - параллелограмм.
3. Наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b будем обозначать [a,b]. Пусть натуральное число n таково, что [n,n+1] > [n,n+2] > ... > [n,n+35], докажите, что [n,n+35] > [n,n+36]
4. На шахматной доске стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Докажите, что можно каждую из них передвинуть ходом коня так, что они по прежнему не будут бить друг друга. (все восемь ладей передвигаются "одновременно", то есть если, например, две ладью бьют друг друга ходом коня, то их можно поменять местами.)
5. Космический аппарат сел на неподвижный астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат проехал по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Все это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там точно определили трехмерную траекторию аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ездил аппарат?
запись создана: 13.10.2013 в 16:37

@темы: Олимпиадные задачи

01:32 

Школьная олимпиада 11 класс

...Vicki...
В треугольнике ABC проведена высота BD (точка D лежит на стороне АС). Оказалось, что AB=2CD и CB=2AD. Найдите углы треугольника ABC.
Мне кажется, что это правильный треугольник, но я не знаю, как это доказать.

@темы: Олимпиадные задачи

22:14 

Чем больше я узнаю людей, тем больше мне нравятся собаки.
Критерии проверки московской школьной олимпиады (из статграда):



Задача 3. Правильный алгоритм - 7 баллов.
Разумные продвижения, например, отмерено 8 л - до 3 баллов.

@темы: Олимпиадные задачи

11:16 

c4-ЕГЭ

дан треугольник авс. Докажите,что прямая,проходящая через точки касания вписанной окружности со сторонами АВ иАС,прямая,проходящая через середины сторон АВ и ВС и биссектриса угла АВС пересекаются в одной точке.

@темы: ЕГЭ, Олимпиадные задачи, Планиметрия

22:02 

помогите решить

пусть `a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 >0, \ \ a_1*a_2*a_3*a_4*a_5 = 1`. Докажите неравенство `{a_1^2}/{a_2^2} + {a_2^2}/{a_3^2} +{a_3^2}/{a_4^2} + {a_4^2}/{a_5^2} + {a_5^2}/{a_1^2} >= a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5`
запись создана: 08.09.2013 в 14:37

@темы: Олимпиадные задачи, Доказательство неравенств

23:20 

Задания прошедшего в сентябре Турнира им. М. Ломоносова

читать дальше

@темы: Олимпиадные задачи

21:00 

wpoms.
Step by step ...
Объявление о проведении олимпиады «Формула Единства»/ «Третье тысячелетие» в 2013/14 учебном году


Дорогие друзья!

Мы рады сообщить о начале международной математической олимпиады «Формула Единства» / «Третье тысячелетие». Олимпиада проводится для учеников 5–11 классов и состоит из двух туров. Первый (заочный) тур будет проходить с 1 по 21 октября 2013 года, его задания будут опубликованы на нашем сайте (formulo.org) 1 октября. Второй (очный) тур будет одновременно проведён во многих городах России и в других странах; ориентировочное время проведения — середина или конец января 2014 года.

Данная олимпиада продолжит традиции сразу двух олимпиад. Одна из них — «Формула Единства» — была впервые проведена в 2012/2013 учебном году с участием около 1000 школьников из 50 субъектов РФ и 8 зарубежных стран. Другая — олимпиада «Третье тысячелетие» (см. matholimp.narod.ru) — проводится с 2000 года, продолжая традицию Соросовских олимпиад. По данным организаторов, в ней участвуют сотни тысяч школьников из России, Белоруссии и нескольких других стран.
читать дальше


Информация об олимпиаде 2012-2013 учебного года (задания, решения, результаты) на сайте www.euler-foundation.org


Комментарий В. П. Федотова
...
В связи с планами признания нашей олимпиады на государственном уровне (в разных странах; в частности, конвертации наших дипломов в баллы ЕГЭ), мы вводим понятие сертифицированного участия. Чтобы получить диплом, дающий дополнительные права, участник должен будет успешно справиться с заданием первого тура и (не менее успешно) выполнить работу второго тура в заранее объявленном ближайшими локальными кураторами времени и месте. Кроме того, только в случае сертифицированного участия в олимпиаде возможно участие в последующих этапах проекта «Формула Единства» (дистанционном кружке при СПбГУ и в международном летнем математическом лагере «Формула Единства» - см. formulo.org/ru/camp-2013/ ).
...



Страничка олимпиады
www.formulo.org/ru/olimpiada/
Условия 1 тура
www.formulo.org/media/cms_page_media/27/1_tour_...
Информация для педагогов, проводящих олимпиаду
www.formulo.org/ru/informaciya-dlya-pedagogov-p...


@темы: Новости, Олимпиадные задачи

18:05 

wpoms.
Step by step ...
Турнир Городов — меж­ду­народ­ная олим­пи­ада по ма­тема­тике для школь­ни­ков. Задания расс­чи­таны на учащихся 8−11 классов. Осо­бен­ность Турнира городов в том, что он ори­ен­ти­ру­ет участ­ни­ков не на спор­тивный успех, а на уг­лублён­ную работу над задачей, т. е. раз­ви­ва­ет качества, не­об­хо­димые в исс­ле­дова­тель­ской работе.

Турнир про­водит­ся ежегодно с 1980 года, а с 1989 года про­водят­ся 2 тура — осенний и весенний, каждый из которых состоит из двух ва­ри­ан­тов — базового и сложного. Сложный вариант олим­пи­ады со­пос­та­вим по труд­ности со Все­рос­сий­ской и Меж­ду­народ­ной ма­тема­тичес­кой олим­пи­адой, базовый — нес­коль­ко проще. Участие в каком-либо туре и варианте не зависит от участия в другом. Каждый вариант про­водит­ся отдельно для младших (8−9 классы) и для старших (10−11 классы). Любой школьник (любого класса) может участ­во­вать в Турнире для своего класса или старше.

читать дальше



Сроки проведения Турнира Городов в 2013/2014 учебном году

осенний/базовый 13 октября 2013 г.
осенний/сложный 27 октября 2013 г.

В комментариях приведены задания турнира 2012/2013 г. Решения большинства задач опубликованы на www.problems.ru. Там же можно уточнить авторство задач весеннего тура.

@темы: Новости, Олимпиадные задачи

05:59 

Олимпиадные задания.

Scoun
Мне обещали, что я буду летать, но я все время ездил в трамвае.
Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как решаются второй и третий номера?
(№2) При каких значениях параметра `b` прямая `y = (b^2 + 2b - 2)*x + b` пересекает прямоугольник `{(0 <= x <= 3), (0 <= y <= 2):}` ? Найти длину отрезка прямой, лежащего внутри прямоугольника при `b = 1`.
(№3) Решить систему уравнений:
`{(x^6 + 2y^6 + 3z^6 = 1), (x^4 + 2y^4 + 3z^4 = 1):}`

Единственная мысль - перенести z в правую часть и вычесть из первого второе уравнение. Но так получилось бы, только не будь четвертой степени. Или стоит просто поочередно приравнивать члены уравнения единице?

@темы: Олимпиадные задачи, Системы НЕлинейных уравнений

23:27 

Доказать тождество

Задача с Удмуртской региональной олимпиады какого-то года, понравилась чем-то :)

`1/(1*(2n-1))+1/(3*(2n-3))+...+1/((2n-1)*1)=1/n*(1+1/3+...+1/(2n-1))`

@темы: Олимпиадные задачи

04:56 

IMO2013 Планиметрия

Белый и пушистый (иногда)
Вот две задачи по планиметрии с IMO2013 (проходила в Колумбии). Команда России получила 4 золотых и 2 серебрянных медали.

1. (№3) Пусть вневписанная окружность треугольника `ABC`, лежащая напротив вершины `A`, касается стороны `BC` в точке `A_1`. Точки `B_1` на стороне `CA` и `C_1` на стороне `AB` определяются аналогичным образом с использованием вневписанных окружностей, лежащих напротив вершин `B` и `C`, соответственно. Известно, что центр описанной окружности треугольника `A_1B_1C_1` лежит на описанной окружности треугольника `ABC`. Докажите, что треугольник `ABC` прямоугольный.

2. (№4) Пусть `H`  точка пересечения высот остроугольного треугольника `ABC`. Пусть `W` произвольная точка на отрезке `BC`, отличная от точек `B` и `C`. Обозначим через `M` и `N` основания высот треугольника `ABC`, проведенных из вершин `B` и `C`, соответственно. Пусть `omega_1` -  окружность, описанная около треугольника `BWN`, а `X`  такая точка на `omega_1`, что `WX` - диаметр `omega_1`. Аналогично, пусть `omega_2` - окружность, описанная около треугольника `CWM`, и `Y`  такая точка на `omega_2`, что `WY` -диаметр `omega_2`. Докажите, что точки `X`, `Y` и `H` лежат на одной прямой.

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная