Записи с темой: ряды (список заголовков)
23:39 

найти область сходимости ряда

Здравствуйте! Нужно найти область сходимости степенного ряда:

`sum_(n = 1)^infty (a^n/n + b^n/n^2)*x^n`

На другом форуме мне подсказали: Пускай c=max(|a|,|b|). Рассмотрите случаи c<1, c=1, c>1.

Но я все равно не понимаю, как это применить. Может, кто-нибудь расшифрует?

Забыла указать (a > 0, b > 0)

@темы: Математический анализ, Ряды

12:23 

Вычислить ряд

SeeeT
Здравствуйте.
Никак не получается установить сходимость\расходимость ряда. И так верчу, и эдак. И через сравнения, и через предельную форму - не получается. Подтолкните пожалуйста, каким методом его решать было бы более рационально?
`Sigma x^3*(tan^5(Pi/x))`

Исходил из того, что тангенс лежит в предалах от `-Pi/2` до `Pi/2` и там уже по сравнениям смотрел, но что то не получилось


@темы: Ряды

16:05 

Определить область сходимости степенного ряда

Здравствуйте! Нужно найти область сходимости степенного ряда:

`sum_(n = 1)^infty ((3^n + (-2)^n)/n)*(x + 1)^n`

@темы: Математический анализ, Ряды

16:03 

Ряд Фурье

Как разложить в ряд Фурье следующие функции:
arccos(cosx)
sgn(sinx)
Помогите,пожалуйста. Я не очень понимаю как

@темы: Математический анализ, Ряды

22:03 

Исследовать ряд на сходимость и найти сумму функциональной посл-ти.

IWannaBeTheVeryBest
Ребят, всем снова привет. Выручайте. На завтра надо 1 ряд исследовать.
Первое задание исследовать ряд на сходимость - `sum int_{0}^{1/n} (x^(1/3))/(1 + x^4) * dx`
По обычаям этого сайта я наверное не могу просить полного решения. Тут только помогают. Поэтому как обычно говорю, что пытался делать.
Этот ряд будет сходится, если сходится интеграл. Интегрировать такую штуку довольно неприятно. Но, все-таки, через 2 замены получилось что-то приятное.
После первой `x = t^3, dx = 3t^2dt` у меня вышло `int (3t^3)/(1 + t^12) * dt`.
После второй `p = t^4, dp = 4t^3dt` вышло `3/4 * int 1/(1 + p^3) * dp`
Дальше можно на простейшие дроби развалить. У меня вопросов 2.
1) Не упустил ли я чего и верные ли рассуждения.
2) Можно ли как-то по-другому.
И да. Только не ругайтесь, но мне проще сначала найти интеграл, затем сделать обратную замену и уже потом подставлять пределы, чем ковырятся на каждой замене с пределами. :D

И вот второе - найти сумму посл-ти.
`x^3/3 + x^7/7 + x^11/11 + ... + (x^(4n - 1))/(4n - 1) + ...`
Нигде не могу найти примеры. Все что нашел - 1) продифференцировать почленно, 2)найти сумму геометрической прогрессии, 3) проинтегрировать обратно
1) Дифференцируем...
`x^2 + x^6 + x^10 + ... + x^(4n - 2) + ...`
2) Ищем сумму...
`S = (x^2 * (1 - x^(4n)))/(1 - x^4)`
3) Интегрируем...
`int_{0}^{x} (x^2 * (1 - x^(4n)))/(1 - x^4) dn`
Ответ вышел какой-то такой
`(x^3 * ln(x) - x^(4x + 2) - x^2)/((1 - x^4) * ln(x))`, но это уже мало важно. Мне главное верно ли я проделал алгоритм.
Спасибо))

@темы: Ряды

19:53 

Исследовать интеграл и ряд на сходимость.

IWannaBeTheVeryBest
1) int (ln(2 - (x/2))*ctg(sqrt(pix/2)))/sin(x - 2) dx from 0 to 2

2) sum (ln((n+1)/n))/(ln(n + 2))^(3/2)

Насчет 1 чето вообще нет идей. Ну может как-то по тейлору разложить функции?По Дирихле не разбить, так как нужно, чтобы какая-то из функций имела на нижнем пределе предел 0. Ну при x->0 в данном случае, предел такой функции должен быть равен 0. Таких тут нет. ctg периодичен. Если например попробовать по Абелю, где 1/sin(x - 2) ограничена, то ее предел при x (0; 2] должен быть равен А < inf.
Насчет второго вообще позор. Это вроде же числовой ряд. Там делать нечего должно быть. Я и тут умудрился затупить. Вообще ничего в голову не идет. Пытался подобрать такую функцию, которая в отношении с этой будет давать в пределе какое-то число > 0 и которую можно проверить на сходимость по интегральному Коши скажем. Тоже не знаю что делать. Плизз хелп.

@темы: Ряды, Несобственные интегралы, Математический анализ

17:06 

Ряд Фурье

Надо разложить в РФ функцию: `f(x) = ln(sin x) / (1-2a cos(x)+a^2)`. Как мне кажется, точно нужно избавиться от логарифма в числителе каким-то образом. Например, представить синус через экспоненты. А дальше только как не знаю. Думал еще добавить к `f(x)` какую-нибудь чисто мнимую штуку, например, `g(x) = i ln(e^x) / (1-2a cos(x)+a^2)`, чтобы получить логарифм произведения, а внутри какую-нибудь хорошую штуку. Но это тоже не получилось. Также знаю два фокуса со знаменаетелем для разложения его на множители: 1) замена косинуса через экспоненты, а также `a^2 = a^2 (e^(-ix) e^(ix))` 2) `a^2 = a^2 sin^2 x + a^2 cos^2 x`, далее выделить полной квадрат и разложить по множителям
Но прежде чем этим пользоваться нужно убрать логарифм из числителя. Собственно, не могли бы Вы подсказать, как его оттуда убрать?

@темы: Математический анализ, Ряды

19:40 

Найти все значения параметра при которых сходится ряд

Помогите, пожалуйста, понять, как решаются ряды
Найти все значения параметра a, при которых ряд
a) Абсолютно сходится
б) Условно сходится

Ряд 1 `sum_(n=1)^infty ((-1)^n*n^a+ln^3(n))/(n^a*ln(n+1))`

Ряд 2 `sum_(n=1)^infty ((-1)^n)/(n^a+(-1)^(n-1))`

@темы: Ряды

00:34 

степенной ряд

Всем добрый вечер! давно сюда не заходила уже..понадобилось вспомнить матан 1 курса и степенные ряды-а именно найти радиус и интервал сходимости ряда.
`sum_(n=1)^infty ((2n+5)/(3n-1))^(2n-1)`
я начала решать и встала в ступор как считать-помогите пожалуйста разобраться. может где пример есть аналогичный..
читать дальше
спасибо!

@темы: Математический анализ, Ряды

23:40 

Ряды Фурье

Здравствуйте) помогите, пожалуйста, разложить функцию в ряд Фурье
F(x)=2-|x| на интервале (-п;п)
Меня смутил модуль. Начала тормозить.
Заранее благодарна)

@темы: Ряды

12:07 

Перестановка членов абсолютно/условно сходящихся рядов

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
Растолкуйте пожалуйста вкратце, в виде плана эдакого доказательство соответствующих теорем:
Теорема о перестановка членов абсолютно сходящихся рядов;
Теорема о перестановка членов условно сходящихся рядов(Теорема Римана);

З.Ы. Сами же доказательства достаточно большие, что и не запомнить.

@темы: Математический анализ, Ряды

11:06 

Признак Дини равномерной сходимости ряда

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
Есть ли где краткое доказательство данного признака ?

@темы: Математический анализ, Ряды

12:37 

Исследовать на сходимость, области сходимости.

blackhawkjkee
1) Исследовать на сходимость.
`sum_(n=1)^infty lnn/(n^3+n+1)`

2) Исследовать на сходимость.
`sum_(n=1)^infty 1/(root(3)(n)) * arctg pi/(root(4)(n))`

3) Найти области сходимости.
`sum_(n=3)^infty (x+2)^n/((2n+1)*3^n)`

- С первым номером не могу правильный метод подобрать, думаю что либо инт. признак Коши, либо сравнивать с рядом `1/n^2`.

- Второй номер пробовал решить по признаку Даламбера, но получилась `1`. Видимо нужен признак сравнения, но я не знаю с чем лучше сравнивать.

- В третьем номере сначала использовал радикальный признак Коши, получилось следующее:
`lim_(n->infty) (x+2)/(2n+1)^3`
Что делать дальше не знаю.

Заранее благодарен за любую помощь!

@темы: Ряды

19:58 

При каких `alpha` сходится ряд

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
`a_n = |ln(arctg(1/n)) - ln(tg(1/n))|^alpha`

@темы: Ряды

13:21 

Разложить в ряд Маклорена функцию

Требуется разложить в ряд функцию
`y=(x-1) sin (5x)`

Я раскладываю:
`sin (5x)=5x-(5^3*x^3)/(3!)+(5^5*x^5)/(5!)-(5^7*x^7)/(7!)+...=sum_(n=1)^(infty) (((-1)^(n+1)*5^(2n-1)*x^(2n-1))/((2n-1)!))`

Тогда получим:
`(x-1)sin (5x)=(x-1)(5x-(5^3*x^3)/(3!)+(5^5*x^5)/(5!)-(5^7*x^7)/(7!)+...)=-5x+5x^2+(5^3*x^3)/(3!)-(5^3*x^4)/(3!)-(5^5*x^5)/(5!)+(5^5*x^6)/(5!)-(5^7*x^7)/(7!)+(5^7*x^8)/(7!)-...=sum_(n=1)^(infty) (((-1)^(n+1)*5^(2n-1)*(x-1)*x^(2n-1))/((2n-1)!))`

Общую формулу в таком виде преподаватель не принимает. Говорит, что в формуле должны присутствовать лишь степени `x`, записи вида `(x-1)` не допускаются.

У меня загвоздка с написанием общей формулы разложения. Со степенями икса вроде все понятно, т.к. в каждом члене стоит икс в нарастающей степени. Но как быть с тем, что, например, в первом и втором члене стоит 5, в третьем и четвертом члене стоит 5 в кубе, а знаки чередуются через два, а не через один, как обычно?

Прошу помощи.

@темы: Ряды

21:18 

Верны ли рассуждения

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
При каких `alpha` ряд:
а) сходится абсолютно,
б) сходится условно?

`sum_(n=1)^oo (-1)^n/[nlnn+(-1)^n]^alpha`

`1/[nlnn+(-1)^n]^alpha > 1/[n^2+(-1)^n]^alpha`

Что собственно делать далее ? Изначально идея была в том, что бы как-то определить порядок роста типа `(-1)^n/[nlnn+(-1)^n]^alpha = O(1/n^p)` Но из логарифма она быстро отпала...
Неравенство тоже не решает проблемы

@темы: Ряды

19:57 

Доказать равенство

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
`prod_(n=1)^inf ((9n^2)/(9n^2-1)) = (2pi) / (3sqrt(3))`

@темы: Ряды

20:49 

Функциональные ряды

Найти область E определения суммы ряда `sum_(n=1)^(infty) x^3*e^(-n*x)`и исследовать ее на дифференцируемость.
Читать дальше

@темы: Ряды, Математический анализ

16:15 

Ряд на признак Абеля-Дирихле

buzzefall
Здравствуйте, я хотел бы попросить подкинуть идей, решаю такую задачу:

Анализировать сходимость ряда:
`sum (sin^4(n)) / sqrt(n)`

Далее это дело я преобразовал в `sum (((3 - 4cos(2n) + cos(4n)) / 8) * 1 / sqrt(n))`

Таким образом ряд распался на сумму трех рядов

Я подумал, ряд 3 / 8sqrt(n) расходится, так что возможно и сумма трех рядов целая тоже расходится. Но возникают два вопроса:

1. Если первый и второй ряд расходится, то расходится ли их разность?
2. По признаку Абеля-Дирихле есть монотонно убывающая последовательность 1 / sqrt(n), остается лишь найти ограниченные частичные суммы ряда `sum ((3 - 4cos(2n) + cos(4n)) / 8)`.
Так вот сам вопрос, как узнать, ограничены ли частичные суммы ряда каким-либо значением, и можно ли его узнать?
Если бы я точно знал, что они ограничены или не ограничены, то все - по признаку Абеля-Дирихле ряд сходится или расходится.

@темы: Ряды, Математический анализ

10:41 

Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки `x_0`

Задание Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки `x_0`

`f(x)=sin((pi*x)/4), x_0=2`

Я нашел решение этого задания но я не понимаю почему мы переходим от функции `sin` к функции `cos`

Решение во вложении

читать дальше

Заранее спасибо!

@темы: Ряды

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная