Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: планиметрия (список заголовков)
21:40 

Площадь

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника не превышают `2`, `3` и `4`, соответственно. Определите, с доказательством, максимально возможную площадь треугольника.



@темы: Планиметрия

19:20 

С.Н. Дорофеев. Геометрические преобразования в примерах и задачах (2006)

23:28 

Точки на одной прямой

wpoms.
Step by step ...


Окружности `S` и `T` касаются в точке `X`. Их общая касательная касается `S` в `A` и `T` в `B`. Точки `A` и `B` различны. Пусть `AP` является диаметром `S`. Докажите, что `B`, `X` и `P` лежат на одной прямой.



@темы: Планиметрия

08:49 

Холщовый мешок
Готовимся к ГИА

Из задач одного учебника 7-го класса была дана следующая задача: найти площадь прямоугольного треугольника, у которого длина гипотенузы 8 см и длина соответствующей высоты 5 см.

Задача с сайта matob.ru

@темы: Планиметрия, ЕГЭ, ГИА (9 класс)

16:38 

Холщовый мешок
Утверждают, что на досрочном ЕГЭ этого года была предложена задача с таким забавным условием:


читать дальше

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

10:02 

Углы

wpoms.
Step by step ...


На плоскости лежат прямая `r` и две точки `A` и `B`, которые не принадлежат этой прямой и находятся от нее в одной полуплоскости. Найдите на прямой r точку `M`, такую что угол между `r` и `AM` вдвое больше, чем между `r` и `BM`.



@темы: Планиметрия

19:14 

Биссекториса

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике $ABC$ $I$ -- центр вписанной окружности, $D, E, F$ -- точки касания вписанной окружности и сторон треугольника $BC,CA,AB$ соответственно. Биссектриса угла $BIC$ пересекает $BC$ в $M$, прямая $AM$ пересекает $EF$ в $P$. Докажите, что $DP$ является биссектрисой угла $FDE$.



@темы: Планиметрия

14:05 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Пусть $M$ лежит на меньшей дуге $AB$. Докажите, что `MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB`.



@темы: Планиметрия

02:31 

IMO 2015

Белый и пушистый (иногда)
В Таиланде прошла очередная (57) международная олимпиада по математике. Российская команда выступила достаточно ровно, завоевав 6 серебряных медалей (к сожалению, золотых медалей нет). Всего принимало участие 577 человек (школьники).

Предлагаю несколько задач с этой олимпиады.

1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC=BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA=PB=PC.
а) Докажите, что для любого целого `n >= 3` существует сбалансированное множество, состоящее из n точек.
б) Найдите все целые `n>=3`, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек.

2. Найдите все тройки (a,b,c) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел ab-c, bc-a, ca-b является степенью двойки.

3. Пусть ABC остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Пусть G – окружность, описанная около него, Н – его ортоцентр, а F – основание высоты, опущенной из вершины А. Пусть M – середина стороны BC. Пусть Q – точка на окружности G такая, что угол `HQA=90^@`, а K – точка на окружности G такая, что угол `HKQ=90^@`. Пусть точки A,B, C, K, Q различны и лежат на окружности G в указанном порядке.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга.

4. Пусть Okr – окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O – ее центр. Окружность Gm с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B,D, E, C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G – точки пересечения окружностей Okr и Gm, при этом точки A,F, B, C, G лежат на окружности Okr в указанном порядке. Пусть K – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF, и отрезка AB. Пусть L – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA.
Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO.

5. Пусть R – множество всех действительных чисел. Найдите все функции f : R -> R, удовлетворяющие равенству f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+y∙f(x) для всех действительных чисел x и y.

Тексты задач взяты с сайта www.imo-official.org/

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

23:37 

Одна точка

wpoms.
Step by step ...


Дан выпуклый (не обязательно правильный) шестиугольник `ABCDEF`, `AB = BC`, `CD = DE`, `EF = FA` и `/_ABC + /_CDE + /_EFA = 360^@`. Докажите, что перпендикуляры из `A`, `C` и `E` к `FB`, `BD` и `DF`, соответственно, проходят через одну точку.



@темы: Планиметрия

21:46 

Найти площадь треугольника

Koizumi-san
Ваш ходячий парадокс
Окружность, построенная на стороне треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину стороны BC и пересекает сторону AB в точке D так, что AD=AB/3. Найдите площадь треугольника ABC, если AC=1.

@темы: Планиметрия, Задачи вступительных экзаменов

00:43 

Застилаем пол

wpoms.
Step by step ...


На квадратный пол, разделенный на `10000` квадратов (`100 times 100` квадратов - как большая шахматная доска), нужно уложить плитку. В наличии только прямоугольная плитка размером `1 times 3`, закрывающая точно три квадрата на полу.
(a) Докажите, что если не укладывать плитку в квадрат `2 times 2` в центре пола, то оставшаяся часть пола может покрыта имеющимися плитками.
(b) Если не укладывать плитку в квадрат размером `2 times 2` в углу пола, то докажите, что оставшаяся часть пола не может быть полностью покрыта этими плитками.
[Имеется достаточное количество плиток, плитки укладываются без перекрытия, плитки не могут развиваться на более мелкие части.]



@темы: Планиметрия

16:23 

центр тяжести трапеции

вейко
что толку горевать?
как его определить?

@темы: Планиметрия

09:33 

Про треугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `D`, `E` и `F` лежат на сторонах `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`. `AD` перпендикуляр к `BC`, `BE` биссектриса `/_B` и `F` середина `AB`. Докажите, что `AD`, `BE` и `CF` проходят через одну точку тогда и только тогда, когда `a^2(a - c) = (b^2 - c^2)(a + c)`, где `a`, `b` и `c` длины сторон `BC`, `CA` и `AB`, соответственно, треугольника `ABC`.



@темы: Планиметрия

16:26 

ЕГЭ, 18-ое задание ( С4 )

№ 18 ( один из вариантов ) Две окружности касаются внутренним образом в точке `A`. Центр большей окружности лежит на меньшей. Хорда `BC` большей окружности касается меньшей окружности в точке `P`. Отрезок `AB` пересекает меньшую окружность в точке `M`, а отрезок `AC` - в точке `N`.
а) Доказать, что `MN` || `BC`.
б) Пусть `L` - точка пересечения `МN` и `АP`. Найти `АL`, если `BC=32`, а радиус большей окружности равен `R = 34`.

Доказательство ( "а)" ) - очевидное ( используя "угол между касательной и хордой = половине дуги, которую эта хорда стягивает, то есть равен любому Вписанному углу, опирающемуся на эту дугу" ). А что делать с заданием "б" ) ? Все так плохо, как мне кажется ? =)) решение я вроде придумала ( и ответ ` AL = sqrt{34}` ) - но решение получилось "немножко" ужасное.. ( Используется: "квадрат отрезка касательной = произведению всей секущей на ее внешнюю часть", формула длины биссектрисы, нахождение `sin(alpha)` по известному `sin(2\cdot alpha )` и подобие треугольников.. но думаю, составители ЕГЭ не могли "подразумевать" такое решение.. ( к тому же, разница между пунктом "а" и вычислениями в пункте "б" - огромная.. ))
Как это решить попроще ? )))

( сейчас ненадолго исчезну из сети.. вернусь через пару часов )

@темы: ЕГЭ, Планиметрия

20:41 

Деревня

wpoms.
Step by step ...


Наибольшее расстояние между домами в деревне равно `M`, а наименьшее расстояние равно `m`. Докажите, что если в деревне шесть домов, то `M/m >= sqrt(3)`.



@темы: Планиметрия

01:17 

Описанные окружности

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` и точки `X`, `Y` и `Z` на сторонах `AB`, `BC` и `AC`, соответственно. Докажите, что окружности, описанные около треугольников `AXZ`, `BXY` и `CYZ` пересекаются в одной точке.



@темы: Планиметрия

07:22 

Вписанный четырехугольник

Прошу помощи в решении следуещей задачи:
Четырехугольник АВСD вписан в окружность. АС - диаметр окружности. Угол ВАС равен 40 градусов. Угол САD равен 20 градусов. Точка F принадлежит стороне AD. BF и AC пересекаются в точке Е. AF = CE. Доказать, что E - центр окружности.

@темы: Олимпиадные задачи, Планиметрия

02:06 

Радиусы

wpoms.
Step by step ...


Диагонали `AC` и `BD` вписанного четырехугольника пересекаются в точке `E`. `P`, `Q`, `R` и `S` являются серединами сторон `AB`, `BC`, `CD` и `DA`, соответственно. Докажите, что радиусы окружностей `EPS` и `EQR` имеют равную длину.



@темы: Планиметрия

21:06 

Основания высот

wpoms.
Step by step ...


Дан остроугольный треугольник `ABC`. Основания высот, проведенных из `A`, `B` и `C`, обозначим как `D`, `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `DE + DF <= BC` и определите, для каких треугольников достигается равенство.



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная