• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: планиметрия (список заголовков)
00:12 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Про треугольник `ABC` известно, что `BC=a`, `CA=b`, `AB=c` и `/_ B = 4 /_ A$. Покажите, что `a*b^2*c^3 = (b^2 - a^2 - a*c)*((a^2 - b^2)^2 - a^2c^2)`.



@темы: Планиметрия

22:59 

Доказательство

wpoms.
Step by step ...


Дана плоская фигура с площадью равной `A > n`, где `n` - положительное целое число. Докажите, что фигуру можно поместить на координатной плоскости так, чтобы она накрывала по крайней мере `(n + 1)` точку с целыми координатами.



@темы: Планиметрия, Множества

06:51 

Точки на окружности

wpoms.
Step by step ...


Существует ли такая окружность и такое бесконечное множество точек на ней, что расстояние между любыми двумя точками из этого множества является рациональным?



@темы: Планиметрия

21:34 

Геометрическое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Четырехугольник `ABCD` вписан в окружность радиуса `R`. Обозначим длины сторон `ABCD` как `a`, `b`, `c`, `d` и пусть площадь `ABCD` равна `Q`. Докажите, что `R^2 =((a*b + c*d)*(a*c + b*d)*(a*d + b*c))/(16*Q^2)`. Докажите, что `R >= ((a*b*c*d)^(3/4))/(Q*sqrt(2))` и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `ABCD` является квадратом.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

19:33 

Два в одном

wpoms.
Step by step ...


Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с длиной стороны `1`. Точка `F` делит `AB` на равные части, точки `G`, `H` лежат на сторонах `CD` и `DE`, соответственно, при этом `/_GFD = /_HFD = 30^@`. Докажите, что треугольник `GFH` равносторонний. Квадрат вписан в треугольник `GFH`, при этом одна сторона квадрата лежит на `GH`. Докажите, что длина `FG` равна `t = (2 * cos 18^@ * (cos 36^@)^2)/(cos 6^@)` и что длина стороны квадрата равна `(t*sqrt(3))/(2 + sqrt(3))`.



@темы: Планиметрия

15:23 

Про подобие

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A` и `AB < AC`. Точка `M` - середина `BC`, а точка `D` - точка пересечения отрезка `AC` и перпендикуляра к `BC`, проходящего через `M`. Точка `E` - точка пересечения прямой, параллельной `AC` и проходящей через точку `M`, и перпендикуляра к `BD`, проходящего через `B`. Докажите, что треугольники `AEM` и `MCA` подобны тогда и только тогда, когда угол `ABC` равен шестидесяти градусам.



@темы: Планиметрия

21:16 

Euclidea

На случай, если местные люди не в курсе - прекрасная вещь на тему "геометрические построения":

www.euclidea.xyz

Для имеющих iPhone/iPad есть мобильное приложение (у него немного другой интерфейс, но зато там уже версия 2.0, в которой больше задач).
Задач реально много, и среди них есть реально очень крутые.

Педагогически очень хорошо сделано "прохождение уровней": чтобы пройти, достаточно предъявить какое угодно решение, но при этом вы получаете только одну звезду из трех возможных.
При прохождении за лучшее (минимально известное) число элементарных геометрических шагов (E) - вторая звезда.
При прохождении с лучшим известным числом шагов использования "инструментов" (L) - третья звезда. Инструментами там сделаны стандартные геометрические построения типа серединного перпендикуляра, биссектрисы, параллельной прямой и т.д. При этом ДО активации инструмента приходится решать каждую такую задачу в элементарных шагах.

@темы: Планиметрия, Интересная задача!, Головоломки и занимательные задачи, В помощь учителю

21:35 

Тогда и только тогда

wpoms.
Step by step ...


На рисунке изображен вписанный в окружность треугольник `ABC`. Точка `E` лежит на окружности, точка `D` лежит на луче `AE` вне круга, а угол `CAB` равен углу `BAE`.
Докажите, что `AB = BD` тогда и только тогда, когда `DE = AC`.






@темы: Планиметрия

17:18 

Про квадрат

wpoms.
Step by step ...


Пусть `ABCD` является квадратом и точка `P` лежит на окружности, вписанной в этот квадрат. Определите, возможно ли и нет, чтобы длины всех отрезков `PA`, `PB`, `PC`, `PD` и `AB` были целыми.



@темы: Планиметрия

22:33 

Равенство углов

wpoms.
Step by step ...


Точка `P` лежит внутри треугольника `ABC`, при этом `/_ABP = /_PCA`. Точка `Q` такова, что `PBQC` является параллелограммом. Докажите, что `/_QAB = /_CAP`.



@темы: Планиметрия

05:48 

Середина

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. `S` - окружность, проходящая через `B` и касающаяся `CA` в `A`, `T` - окружность, проходящая через `C` и касающаяся `AB` в `A`. Окружности `S` и `T` пересекаются в `A` и `D`. `E` - точка пересечения прямой `AD` с окружностью, проходящей через точки `A`, `B`, `C`. Докажите, что `D` является серединой `AE`.



@темы: Планиметрия

21:40 

Площадь

wpoms.
Step by step ...


Длины сторон треугольника не превышают `2`, `3` и `4`, соответственно. Определите, с доказательством, максимально возможную площадь треугольника.



@темы: Планиметрия

19:20 

С.Н. Дорофеев. Геометрические преобразования в примерах и задачах (2006)

23:28 

Точки на одной прямой

wpoms.
Step by step ...


Окружности `S` и `T` касаются в точке `X`. Их общая касательная касается `S` в `A` и `T` в `B`. Точки `A` и `B` различны. Пусть `AP` является диаметром `S`. Докажите, что `B`, `X` и `P` лежат на одной прямой.



@темы: Планиметрия

08:49 

Холщовый мешок
Готовимся к ГИА

Из задач одного учебника 7-го класса была дана следующая задача: найти площадь прямоугольного треугольника, у которого длина гипотенузы 8 см и длина соответствующей высоты 5 см.

Задача с сайта matob.ru

@темы: Планиметрия, ЕГЭ, ГИА (9 класс)

16:38 

Холщовый мешок
Утверждают, что на досрочном ЕГЭ этого года была предложена задача с таким забавным условием:


читать дальше

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

10:02 

Углы

wpoms.
Step by step ...


На плоскости лежат прямая `r` и две точки `A` и `B`, которые не принадлежат этой прямой и находятся от нее в одной полуплоскости. Найдите на прямой r точку `M`, такую что угол между `r` и `AM` вдвое больше, чем между `r` и `BM`.



@темы: Планиметрия

19:14 

Биссекториса

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике $ABC$ $I$ -- центр вписанной окружности, $D, E, F$ -- точки касания вписанной окружности и сторон треугольника $BC,CA,AB$ соответственно. Биссектриса угла $BIC$ пересекает $BC$ в $M$, прямая $AM$ пересекает $EF$ в $P$. Докажите, что $DP$ является биссектрисой угла $FDE$.



@темы: Планиметрия

14:05 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Квадрат $ABCD$ вписан в окружность. Пусть $M$ лежит на меньшей дуге $AB$. Докажите, что `MC \cdot MD > 3\sqrt{3} \cdot MA \cdot MB`.



@темы: Планиметрия

02:31 

IMO 2015

Белый и пушистый (иногда)
В Таиланде прошла очередная (57) международная олимпиада по математике. Российская команда выступила достаточно ровно, завоевав 6 серебряных медалей (к сожалению, золотых медалей нет). Всего принимало участие 577 человек (школьники).

Предлагаю несколько задач с этой олимпиады.

1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC=BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA=PB=PC.
а) Докажите, что для любого целого `n >= 3` существует сбалансированное множество, состоящее из n точек.
б) Найдите все целые `n>=3`, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек.

2. Найдите все тройки (a,b,c) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел ab-c, bc-a, ca-b является степенью двойки.

3. Пусть ABC остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Пусть G – окружность, описанная около него, Н – его ортоцентр, а F – основание высоты, опущенной из вершины А. Пусть M – середина стороны BC. Пусть Q – точка на окружности G такая, что угол `HQA=90^@`, а K – точка на окружности G такая, что угол `HKQ=90^@`. Пусть точки A,B, C, K, Q различны и лежат на окружности G в указанном порядке.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга.

4. Пусть Okr – окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O – ее центр. Окружность Gm с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B,D, E, C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G – точки пересечения окружностей Okr и Gm, при этом точки A,F, B, C, G лежат на окружности Okr в указанном порядке. Пусть K – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF, и отрезка AB. Пусть L – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA.
Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO.

5. Пусть R – множество всех действительных чисел. Найдите все функции f : R -> R, удовлетворяющие равенству f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+y∙f(x) для всех действительных чисел x и y.

Тексты задач взяты с сайта www.imo-official.org/

@темы: Планиметрия, Олимпиадные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная