• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: планиметрия (список заголовков)
18:21 

Ломаная

wpoms.
Step by step ...


Дуарте хочет нарисовать квадрат с длиной стороны 2009 см, разделенный на 2009 x 2009 квадратов с длиной стороны 1 см, не отрывая карандаша от бумаги. Если начинать рисунок с угла квадрата, то чему равна наименьшая длина линии, которую нужно провести для достижения намеченной цели?



@темы: Планиметрия

01:57 

Поле в сфере

Пусть поверхность сферы равномерно заряжена электричеством. Через произвольную точку А окружаемой ею полости проведём пучок лучей, вырезающей из сферы бесконечно малые площадки `s_1` и `s_2`. Проекции этих площадок `s'_1` и `s'_2` на плоскость, перпендикулярную к оси пучка, пропорциональны квадратам расстояний `r_1` и `r_2`. То же справедливо для самих площадок `s_1` и `s_2` и находящихся на них зарядов `q_1` и `q_2`. Действительно, если через ось пучка и центр сферы O провести плоскость (плоскость рисунка), то углы `alpha_1` и `alpha_2` равны между собой и, кроме того, `s'_1=s_1sin(alpha_1)` и `s'_2=s_2sin(alpha_2)`. Отсюда и следует наше утверждение. Из него получаем `q_1/r_1^2=q_2/r_2^2`.
Значит кулоновы электрические поля, возбуждаемые в точке А зарядами `q_1` и `q_2`, равны по модулю и противоположны по направлению. Это справедливо для каждой пары зарядов типа `q_1` и `q_2`, на которые можно мысленно разбить всю поверхность заряженной сферы. Поэтому полное электрическое поле должно обращаться в нуль в каждой точке сферической полости.


Как получили `s'_1=s_1sin(alpha_1)` ?

1) Как понимаю стереометрическая картина примерно такая
,
и эта штука высекает на сфере малые площадки `s_1` и `s_2`. То, что проекции этих площадок на ось пучка пропорциональны квадратам расстояний вроде бы понятно, если `d vartheta` - телесный угол под которым видна площадка `s_1`, то `s'_1=r_1^2d vartheta`, аналогично `s'_2=r_2^2d vartheta`, если `s'_1` площадь круга `piR_1^2`, то можно `R_1^2` выразить через `r_1^2` это понятно.
2) То, что заряд `q_1` пропорционален площадке `s_1` тоже понятно - чем меньше площадка, тем меньше заряда на ней, чем больше, тем больше.
3) Равенство углов `alpha_1` и `alpha_2` тоже понятно, опираются на одну дугу (угол между хордой и касательной, в случае альфа 2 равны как вертикальные).
Вроде бы всё понятно `s' sim r^2`, ` s sim q`, а с площадью проекции не ясно.

@темы: Стереометрия, Планиметрия

09:25 

Величина угла

wpoms.
Step by step ...


На сторонах `CD` и `BC` квадрата `ABCD` отмечены точки `M` и `N`, соответственно. Периметр треугольника `MCN` равен удвоенной длине стороны квадрата. Определите величину угла `MAN`.



@темы: Планиметрия

18:09 

Биссектриса

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точка `D` является основанием перпендикуляра, опущенного из `A` на `BC`. Точка `P` лежит на отрезке `AD`. Прямые `BP` и `CP` пересекают `AC` и `AB` в точках `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `AD` является биссектрисой угла `EDF`.



@темы: Планиметрия

19:07 

точки на прямой

вейко
что толку горевать?
какое дополнительное условие к условию надо? чтоб запретить контр пример

На прямой AB даны точки C, D, E такие, что AD=BD и AC=BE. Показать, что CD=DE и AE=BC.
условие

контрпример

@темы: Планиметрия

04:26 

Площадь наибольшего треуголника

Не могли бы Вы проверить:
Дан круг радиусом `R`. Найти найти вписанный в него треугольник, площадь которого наибольшая.
Нужно составить задачу оптимизации и решить её.
Как мне уже посоветовали в предыдущем топике вполне логично составить задачу оптимизации:
`{(R^2/2(sin alpha + sin beta + sin (2pi-alpha-beta))->max ), (0<=alpha < pi), (0<=beta < pi):}`
Дальше можно было бы просто максимизировать сумму трех синусов, взяв производную по двум аргументам, получается:
`{(cos alpha - cos (alpha+beta) = 0),(cos beta -cos (alpha+beta) = 0):}`, вычитая поулчаем `cos alpha = cos beta`. Альфа и бета - углы от нуля до `2pi`, значит `alpha=beta` (или же `beta = 2pi-alpha`) и значит `cos alpha - cos (2alpha) = 0`, отсюда `[(alpha=0), (alpha=2pi/3), (alpha=4pi/3):}`. `alpha=0` очевидно неверно. Если `alpha=2pi/3`, то все центральные углы по 120, значит треугольник равносторонний (нужный ответ). Ну и, наконец, если `alpha = 4pi/3`, то `beta = alpha = 4pi/3`, что невозможно. Если же `beta = 2pi-alpha`, то `cos alpha = 1`, значит `alpha=0` (посторонний корень) или `alpha = pi`
Итого один ответ: все углы по 60 градусов.

@темы: Планиметрия

21:03 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC`. Длины сторон `BC`, `CA`, `AB` равны `a`, `b`, `c`, соответственно. Точки `D`, `E` являются серединами сторон `AC`, `AB`, соответственно. Докажите, что `BD` перпендикулярен `CE` тогда и только тогда, когда `b^2 + c^2 = 5*a^2`.



@темы: Планиметрия

11:32 

Восстановить треугольник

Дана окружность и три точки на ней - точки пересечения продолжений медиан треугольника. Восстановить треугольник.
продвижений нет, вообще никаких..

@темы: Планиметрия

01:59 

Геометрическая задача по физике

Предлагаю Вашему вниманию задачу со Всероссийской студенческой олимпиады (Московский тур) по физике (в технических вузах) от 27.02.2016 г.

Первая частица движется по окружности радиуса `r` со скоростью `v`. Вторая частица догоняет первую, двигаясь по окружности с постоянной скоростью. Вторая частица в начальный момент времени находится от первой на расстоянии `l` под углом `alpha` к вектору скорости первой частицы в сторону от окружности радиуса `r` и движется таким образом, что в любой момент времени векторы скоростей обеих частиц параллельны друг другу. Определить радиус траектории `R` и скорость второй частицы `u`.

p.s. вся физика здесь - при равномерном движении по окружности скорость перпендикулярна радиусу.

@темы: Планиметрия

20:02 

Отражение

wpoms.
Step by step ...


Объектив камеры инвертирует изображение в зеркале заднего вида нашей машины. Если в зеркале отражается номерной знак CS-3965-EN автомобиля, который следует за нами, нарисуйте изображение, которое мы получим в объективе. Нарисуйте также изображение, полученное с помощью перестановки вышеуказанных преобразований, то есть изображение в зеркале, отражающем образ, который дает объектив камеры регистрации. Коммутируют ли эти два преобразования: отражение в зеркале и преломление через объектив?



@темы: Планиметрия

14:40 

Геометрия

Доброго времени суток.Дано конечное множество точек на плоскости. Правда ли что центр окружности наименьшего радиуса содержащей всё множество находится либо на середине какого то отрезка с концами из данного множества, либо является центром окружности описанной около какого то треугольника?

С аналитической геометрией мало чего общего у задачи, но не смог выбрать более подходящего тега.

@темы: Планиметрия

20:34 

Квадрат

wpoms.
Step by step ...


Четыре точки A, B, C, D лежат на одной плоскости, причем, никакие три из них не лежат на одной прямой. Постройте квадрат со сторонами a, b, c, d так, чтобы для него выполнилось: `A in a`, `B in b`, `C in c`, `D in d`.



@темы: Планиметрия

00:12 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Про треугольник `ABC` известно, что `BC=a`, `CA=b`, `AB=c` и `/_ B = 4 /_ A$. Покажите, что `a*b^2*c^3 = (b^2 - a^2 - a*c)*((a^2 - b^2)^2 - a^2c^2)`.



@темы: Планиметрия

22:59 

Доказательство

wpoms.
Step by step ...


Дана плоская фигура с площадью равной `A > n`, где `n` - положительное целое число. Докажите, что фигуру можно поместить на координатной плоскости так, чтобы она накрывала по крайней мере `(n + 1)` точку с целыми координатами.



@темы: Планиметрия, Множества

06:51 

Точки на окружности

wpoms.
Step by step ...


Существует ли такая окружность и такое бесконечное множество точек на ней, что расстояние между любыми двумя точками из этого множества является рациональным?



@темы: Планиметрия

21:34 

Геометрическое неравенство

wpoms.
Step by step ...


Четырехугольник `ABCD` вписан в окружность радиуса `R`. Обозначим длины сторон `ABCD` как `a`, `b`, `c`, `d` и пусть площадь `ABCD` равна `Q`. Докажите, что `R^2 =((a*b + c*d)*(a*c + b*d)*(a*d + b*c))/(16*Q^2)`. Докажите, что `R >= ((a*b*c*d)^(3/4))/(Q*sqrt(2))` и что равенство достигается тогда и только тогда, когда `ABCD` является квадратом.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

19:33 

Два в одном

wpoms.
Step by step ...


Дан правильный пятиугольник `ABCDE` с длиной стороны `1`. Точка `F` делит `AB` на равные части, точки `G`, `H` лежат на сторонах `CD` и `DE`, соответственно, при этом `/_GFD = /_HFD = 30^@`. Докажите, что треугольник `GFH` равносторонний. Квадрат вписан в треугольник `GFH`, при этом одна сторона квадрата лежит на `GH`. Докажите, что длина `FG` равна `t = (2 * cos 18^@ * (cos 36^@)^2)/(cos 6^@)` и что длина стороны квадрата равна `(t*sqrt(3))/(2 + sqrt(3))`.



@темы: Планиметрия

15:23 

Про подобие

wpoms.
Step by step ...


Дан треугольник `ABC` с прямым углом `A` и `AB < AC`. Точка `M` - середина `BC`, а точка `D` - точка пересечения отрезка `AC` и перпендикуляра к `BC`, проходящего через `M`. Точка `E` - точка пересечения прямой, параллельной `AC` и проходящей через точку `M`, и перпендикуляра к `BD`, проходящего через `B`. Докажите, что треугольники `AEM` и `MCA` подобны тогда и только тогда, когда угол `ABC` равен шестидесяти градусам.



@темы: Планиметрия

21:16 

Euclidea

На случай, если местные люди не в курсе - прекрасная вещь на тему "геометрические построения":

www.euclidea.xyz

Для имеющих iPhone/iPad есть мобильное приложение (у него немного другой интерфейс, но зато там уже версия 2.0, в которой больше задач).
Задач реально много, и среди них есть реально очень крутые.

Педагогически очень хорошо сделано "прохождение уровней": чтобы пройти, достаточно предъявить какое угодно решение, но при этом вы получаете только одну звезду из трех возможных.
При прохождении за лучшее (минимально известное) число элементарных геометрических шагов (E) - вторая звезда.
При прохождении с лучшим известным числом шагов использования "инструментов" (L) - третья звезда. Инструментами там сделаны стандартные геометрические построения типа серединного перпендикуляра, биссектрисы, параллельной прямой и т.д. При этом ДО активации инструмента приходится решать каждую такую задачу в элементарных шагах.

@темы: Планиметрия, Интересная задача!, Головоломки и занимательные задачи, В помощь учителю

21:35 

Тогда и только тогда

wpoms.
Step by step ...


На рисунке изображен вписанный в окружность треугольник `ABC`. Точка `E` лежит на окружности, точка `D` лежит на луче `AE` вне круга, а угол `CAB` равен углу `BAE`.
Докажите, что `AB = BD` тогда и только тогда, когда `DE = AC`.






@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная