Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: планиметрия (список заголовков)
20:37 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что в любом треугольнике есть две стороны a и b, длины которых удовлетворяют неравенству
`(sqrt(5)-1)/2 < a/b < (sqrt(5)+1)/2`




@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

22:18 

На окружности

wpoms.
Step by step ...


Точки окружности `A` и `B` принадлежат разным дугам, на которые окружность разбивается концами диаметра `CD`. Отрезки `EC` и `DF` перпендикулярны отрезку `AB`. Найдите `BF`, если `AE = 1` см.





@темы: Планиметрия

18:19 

Функции в треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Пусть `S` - множество точек лежащих внутри данного равностороннего треугольника `ABC` с длиной стороны `1` или на его границах. Для любой точки `M in S, \ a_M, \ b_M, \ c_M` обозначают расстояния от `M` до `BC, \ CA, \ AB` соответственно. Определим
`f(M) = a_M^3 (b_M - c_M) + b_M^3(c_M - a_M) + c_M^3(a_M - b_M)`.
(a) Опишите множество `{M \in S | f(M) \geq 0 }` геометрически.
(b) Найдите наименьшее и наибольшее значение `f(M)` и точки в которых они достигаются.



@темы: Функции, Планиметрия

16:51 

Про окружность

wpoms.
Step by step ...


Точки `P` и `Q` лежат на окружности `k`. Хорда `AC` этой окружности проходит через середину `M` отрезка `PQ`. Трапеция `ABCD` вписана в `k` и `AB \parallel PQ \parallel CD`. `X` - точка пересечения `AD` и `BC`. Докажите, что `X` зависит только от `k`, `P` и `Q`.



@темы: Планиметрия

20:56 

Пересечение прямых

wpoms.
Step by step ...


Пусть `P` - внутренняя точка треугольника `ABC`. Точка `A'` - отличная от `A` точка пересечения прямой `AP` с описанной около треугольника `ABC` окружностью. Аналогичным образом определяются точки `B'` и `C'`. Пусть точки `O_A`, `O_B` и `O_C` - центры окружностей, описанных около треугольников `BCP`, `ACP` и `ABP` соответственно, а точки `O_{A'}`, `O_{B'}` и `O_{C'}` - центры окружностей, описанных около треугольников `B'C'P`, `A'C'P` и `A'B'P` соответственно. Докажите, что прямые `O_{A}O_{A'}`, `O_{B}O_{B'}` и `O_{C}O_{C'}` пересекаются в одной точке.



@темы: Планиметрия

14:35 

Углы и стороны

wpoms.
Step by step ...


Углы треугольника `A`, `B` и `C` измеряются в градусах, а длины противоположных сторон обозначены `a`, `b` и `c` соответственно. Докажите что `60 <= {a*A + b*B + c*C}/{a + b + c} < 90`.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

20:24 

Про перпендикуляры

wpoms.
Step by step ...


Из внутренней точки `P` равностороннего треугольника `ABC` на стороны `BC`,`CA` и `AB` опустили перпендикуляры `PD`, `PE` и `PF` соответственно. Докажите что
a) `AF + BD + CE = AE + BF + CD` и
b) `[APF] + [BPD] + [CPE] = [APE] + [BPF] + [CPD]`.
`[XYZ]` обозначает площадь треугольника `XYZ`.



@темы: Планиметрия

14:27 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точка `E` является основанием перпендикуляра опущенного из вершины `B` на `AC`. Пусть `l` - касательная к окружности, описанной около треугольника `ABC`, проведённая в точке `B`. Точка `F` - основание перпендикуляра опущенного из точки `C` на `l`. Докажите, что прямая `EF` параллельна прямой `AB`.



@темы: Планиметрия

12:31 

wpoms
Step by step ...
В сообществе Волшебство Wasan можно найти задачи традиционной японской математики.



24 декабря 2015 г.



Требуется доказать, что диаметр желтой окружности равен удвоенному корню
из произведения диаметров синей и зеленой окружностей.





В большинстве предлагаемых задач для решения достаточно использовать теорему Пифагора. В данной задаче можно рассмотреть прямоугольный треугольник с вершинами в центре красной окружности, точке касания желтых окружностей и центре желтой окружности.


Попробуйте решить эту и другие опубликованные в сообществе задачи. Если возникнут проблемы с пониманием условий, то пишите, попробуем разобраться вместе.

@темы: Планиметрия

11:10 

wpoms
Step by step ...
Эта задача для ценителей, знающих что представляет собою вписанный в прямоугольник круг.





Найдите длину малой оси эллипса, если известны длины оснований равнобедренной трапеции.



@темы: Планиметрия

09:47 

wpoms
Step by step ...


Как показано на рисунке, центры равных соприкасающихся кругов лежат на диагоналях ромба, центр одного из них совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба, а крайние круги касаются сторон ромба. Определите количество кругов, если известны диаметр круга, сумма и произведение длин диагоналей ромба.





@темы: Планиметрия

09:46 

wpoms
Step by step ...


На рисунке изображены четыре равные большие пересекающиеся окружности, одна средняя окружность, касающаяся больших окружностей, и восемь равных маленьких окружностей. Окружности касаются своих соседей. Найдите длину диаметра маленькой окружности, если известна длина диаметра средней окружности.





@темы: Планиметрия

13:03 

Про выпуклый четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `P, Q, R, S` - середины сторон `BC, CD, DA, AB` выпуклого четырехугольника `ABCD` соответственно. Докажите, что `4*(AP^2 + BQ^2 + CR^2 + DS^2) \le 5*(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2)`.



@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

07:29 

Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

wpoms
Step by step ...
Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

В правильной призме `A\dots C_1` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `AA_1` равно 3. На ребре `B_1C_1` отмечена точка `L` так, что `B_1L=1`. Точки `K` и `M` --- середины рёбер `AB` и `A_1C_1` соответственно. Плоскость
`\gamma` параллельна прямой `AC` и содержит точки `K` и `L`.
а) Докажите, что прямая `BM` перпендикулярна плоскости `\gamma`.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой --- точка `M`, а основание --- сечение призмы плоскостью `\gamma`.
б') Найдите расстояние от вершины `C`, до плоскости `\gamma`.

читать дальше

@темы: Стереометрия, Планиметрия, ЕГЭ

16:46 

Геометрия на ЕГЭ 2015

wpoms
Step by step ...
Геометрия на ЕГЭ 2015

В кубе `ABCDA_1B_1C_1D_1` все рёбра равны 5. На его ребре `B B_1` отмечена точка `K` так, что `KB = 3`. Через точки `K` и `C_1` проведена плоскость $\alpha,$ параллельная прямой `BD_1`.
а) Докажите, что `A_1P: PB_1 = 1:2,` где `P` -- точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром `A_1B_1.`
б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью $\alpha.$
Ответ: `1075/9`.

читать дальше

@темы: Стереометрия, Планиметрия, ЕГЭ

20:35 

ГМТ

wpoms.
Step by step ...


Окружности `C_1` и `C_2` имеют разные длины радиусов и касаются в точке `T`. На окружности `C_1` берется произвольная точка `A`, а на окружности `C_2` - точка `B`, обе точки отличны от `T` и величина угла `BTA` равна `90` градусам. Что представляет собой геометрическое место середин отрезков `AB`?




@темы: Планиметрия

18:21 

Ломаная

wpoms.
Step by step ...


Дуарте хочет нарисовать квадрат с длиной стороны 2009 см, разделенный на 2009 x 2009 квадратов с длиной стороны 1 см, не отрывая карандаша от бумаги. Если начинать рисунок с угла квадрата, то чему равна наименьшая длина линии, которую нужно провести для достижения намеченной цели?



@темы: Планиметрия

01:57 

Поле в сфере

Пусть поверхность сферы равномерно заряжена электричеством. Через произвольную точку А окружаемой ею полости проведём пучок лучей, вырезающей из сферы бесконечно малые площадки `s_1` и `s_2`. Проекции этих площадок `s'_1` и `s'_2` на плоскость, перпендикулярную к оси пучка, пропорциональны квадратам расстояний `r_1` и `r_2`. То же справедливо для самих площадок `s_1` и `s_2` и находящихся на них зарядов `q_1` и `q_2`. Действительно, если через ось пучка и центр сферы O провести плоскость (плоскость рисунка), то углы `alpha_1` и `alpha_2` равны между собой и, кроме того, `s'_1=s_1sin(alpha_1)` и `s'_2=s_2sin(alpha_2)`. Отсюда и следует наше утверждение. Из него получаем `q_1/r_1^2=q_2/r_2^2`.
Значит кулоновы электрические поля, возбуждаемые в точке А зарядами `q_1` и `q_2`, равны по модулю и противоположны по направлению. Это справедливо для каждой пары зарядов типа `q_1` и `q_2`, на которые можно мысленно разбить всю поверхность заряженной сферы. Поэтому полное электрическое поле должно обращаться в нуль в каждой точке сферической полости.


Как получили `s'_1=s_1sin(alpha_1)` ?

1) Как понимаю стереометрическая картина примерно такая
,
и эта штука высекает на сфере малые площадки `s_1` и `s_2`. То, что проекции этих площадок на ось пучка пропорциональны квадратам расстояний вроде бы понятно, если `d vartheta` - телесный угол под которым видна площадка `s_1`, то `s'_1=r_1^2d vartheta`, аналогично `s'_2=r_2^2d vartheta`, если `s'_1` площадь круга `piR_1^2`, то можно `R_1^2` выразить через `r_1^2` это понятно.
2) То, что заряд `q_1` пропорционален площадке `s_1` тоже понятно - чем меньше площадка, тем меньше заряда на ней, чем больше, тем больше.
3) Равенство углов `alpha_1` и `alpha_2` тоже понятно, опираются на одну дугу (угол между хордой и касательной, в случае альфа 2 равны как вертикальные).
Вроде бы всё понятно `s' sim r^2`, ` s sim q`, а с площадью проекции не ясно.

@темы: Стереометрия, Планиметрия

09:25 

Величина угла

wpoms.
Step by step ...


На сторонах `CD` и `BC` квадрата `ABCD` отмечены точки `M` и `N`, соответственно. Периметр треугольника `MCN` равен удвоенной длине стороны квадрата. Определите величину угла `MAN`.



@темы: Планиметрия

18:09 

Биссектриса

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точка `D` является основанием перпендикуляра, опущенного из `A` на `BC`. Точка `P` лежит на отрезке `AD`. Прямые `BP` и `CP` пересекают `AC` и `AB` в точках `E` и `F`, соответственно. Докажите, что `AD` является биссектрисой угла `EDF`.



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная