Записи с темой: планиметрия (список заголовков)
10:45 

Вокруг мяча - 17

wpoms.
Step by step ...
Окружности `omega_1,` `omega_2` пересекаются в точках `P,` `Q.` Прямая, проходящая через точку `P,` пересекает `omega_1,` `omega_2` в точках `A,` `B,` соответственно. Другая прямая, параллельная `AB,` пересекает `omega_1` в точках `D,` `F,` а `omega_2` пересекает в точках `E,` `C` так, что точки `E,` `F` лежат между `C,` `D.` Пусть `X` - точка пересечения `AD` и `BE,` а `Y` - точка пересечения `BC` и `AF.` Пусть точка `R` симметрична точке `P` относительно `CD.`
Докажите, что (1) `R` лежит на `XY.` (2) `PR` является биссектрисой угла `XPY.`


@темы: Планиметрия

09:34 

Вокруг мяча - 16

wpoms.
Step by step ...
Точки `A,` `B,` `C` и `D` лежат на прямой `l` в указанном порядке, `AB = BC,` `AC = CD,` окружность `omega` проходит через точки `B` и `D,` прямая, проходящая через точку `A,` пересекает `omega` в точках `P` и `Q,` точка `Q` расположена между `A` и `P,` точка `M` - середина отрезка `PD,` а точка `R` симметрична точке `Q` относительно прямой `l,` отрезки `PR` и `MB` пересекаются в точке `N.`
Докажите, что точки `P,` `M,` `C` y `N` лежат на одной окружности.


@темы: Планиметрия

08:40 

Вокруг мяча - 15

wpoms.
Step by step ...
Дан треугольник `ABC,` `AC = 31,` `AB = 22,` медианы `C C'` и `B B'` перпендикулярны друг другу. Найдите длину `BC.`


@темы: Планиметрия

08:07 

Вокруг мяча - 14

wpoms.
Step by step ...
Окружность `omega` описана около треугольника `ABC,` `I` - центр вписанной окружности треугольника `ABC,` касательная к окружности `omega,` проходящая через точку `C,` пересекает прямую `AB` в точке `D,` прямые `AI` и `BI` пересекают биссектрису угла `CDB` в точках `E` и `F,` соответственно, точка `M` - середина `AB.`
Докажите, что прямая `MI` проходит через середину дуги `ACB.`



Примечание. В условии имеется опечатка. Точка M - середина отрезка FE.

@темы: Планиметрия

06:59 

Вокруг мяча - 13

wpoms.
Step by step ...
В треугольнике `ABC` точка `D` является серединой гипотенузы `AB.` Окружность `k` описана около треугольника `BCD,` точка `E` лежит на меньшей дуге `BD.` На прямой `BC` выбрана точка `F` так, что точка `B` находится между точками `C` и `F` и `/_ BEF = 2/_BAF.` Окружность `k_1` описана около треугольника `CEF.`
Докажите, что одна из общих касательных окружностей `k` и `k_1` пролази через тачку `D.`


@темы: Планиметрия

23:20 

Вокруг мяча - 12

wpoms.
Step by step ...
Пусть `M` - середина стороны `BC` треугольника `ABC,` а `H` - его ортоцентр. Биссектриса угла `C` пересекает прямую `AH` в точке `T.` Пусть `MH` параллельна `CT.`
Докажите, что `BH = HT.`


@темы: Планиметрия

19:40 

Вокруг мяча - 11

wpoms.
Step by step ...
Окружность `k` с центром `I` вписана в треугольник `ABC,` она касается сторон `BC,` `CA` и `AB` в точках `D,` `E,` `F` соответственно, прямая `AI` пересекается с окружностью `k` в точке `G,` лежащей между точками `A` и `I,` прямые `BE` и `FG` параллельны.
Докажите, что `BD = EF.`


@темы: Планиметрия

19:16 

Вокруг мяча - 10

wpoms.
Step by step ...
Точка `T` расположена на отрезке `AB` ближе к точке `B.` Покажите,
(1) что для каждой точки `C,` отличной от `T,` принадлежащей перпендикуляру к отрезку `AB,` проходящему через точку `T,` существует ровно одна точка `D` на отрезке `AC` такая, что `/_ CBD = /_ BAC,` и
(2) что перпендикуляры к отрезку `AC,` проведенные через точку `D,` всегда проходят через одну и ту же точку `E` прямой `AB,` вне зависимости от выбора точки `C.`


@темы: Планиметрия

18:58 

Вокруг мяча - 9

wpoms.
Step by step ...
В неравнобедренном треугольнике `ABC` угол `C` прямой, `k` его описанная окружность, `D` - точка пересечения прямой `AB` и касательной к `k,` проходящей через точку `C,` прямая `g` перпендикулярна `AB` и проходит через точку `D,` `E` - точка пересечения `g` с прямой `AC,` `F` - точка пересечения `g` с прямой `BC.`
Докажите, что `D` является серединой отрезка `EF.`


@темы: Планиметрия

05:11 

Вокруг мяча - 8

wpoms.
Step by step ...
Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, AC и BE пересекаются в точке S, AD и BE пересекаются в точке R, CA и BD пересекаются в точке T, CE и BD пересекаются в точке P, CE и AD пересекаются в точке Q, площади треугольников ASR, BTS, CPT, DQP и ERQ равны 1.
(1) Найдите площадь PQRST.
(2) Найдите площадь ABCDE.


@темы: Планиметрия

04:59 

Вокруг мяча - 7

wpoms.
Step by step ...
Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна 1, точка D лежит на стороне BC, `r_1,` `r_2` - длины радиусов вписанных окружностей треугольников ABD и ADC. Выразите `r_1r_2` как функцию от `p = BD` и найдите максимальное значение `r_1r_2.`


@темы: Планиметрия

22:42 

Вокруг мяча - 6

wpoms.
Step by step ...
В остроугольном треугольнике ABC высоты пересекаются в точке H, окружность, проходящая через точки B, H и C, пересекает прямую AB в точке D, а прямую AC в точке E, отрезок DE пересекает HB в точке P, а HC в точке Q, точки X и Y, отличные от A, лежат на прямых AP и AQ соответственно, точки X, H, A, B лежат на одной окружности, точки Y, H, A, C лежат на одной окружности.
Докажите, что прямые XY и BC параллельны.


@темы: Планиметрия

22:27 

Вокруг мяча - 5

wpoms.
Step by step ...
Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB < AC, биссектриса угла BAC пересекает BC в точке D, точка M является серединой BC.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей треугольников ABC и ADM, параллельна AD.


@темы: Планиметрия

04:38 

Вокруг мяча - 4

wpoms.
Step by step ...
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, |AE| + |BD| = |AB|.
Докажите, что `/_ C = 60^@.`


@темы: Планиметрия

18:55 

Вокруг мяча - 3

wpoms.
Step by step ...
Окружность omega касается сторон AB и AC треугольника ABC. Окружность Omega касается стороны AC и продолжения стороны AB за точку B, а также касается omega в точке L, лежащей на стороне BC. Прямая AL вторично пересекает omega и Omega в точках K и M соответственно. Оказалось, что KB || CM. Докажите, что треугольник LCM равнобедренный.

Исправленное условие:

Точка O --- центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, точка M лежит на стороне AB, описанная окружность треугольника AMO пересекает повторно прямую AC в точке K, описанная окружность треугольника BOM пересекает повторно прямую BC в точке N.
Докажите, что Площадь (MNK) `>= 1/4` Площади (ABC), и определите, в каких случаях достигается равенство.


@темы: Планиметрия

18:49 

Вокруг мяча - 2

wpoms.
Step by step ...
Точки D, E, F симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и DEF равны.


@темы: Планиметрия

17:52 

Вокруг мяча - 1

wpoms.
Step by step ...
Периметр треугольника `ABC` равен 100, его биссектрисы пересекаются в точке `I,` точка `M` является серединой стороны `BC,` прямая, параллельная `AB` и проходящая через точку `I,` пересекает медиану `AM` в точке `P,` `AP:PM = 7:3.` Найдите длину стороны `AB.`


@темы: Планиметрия

15:13 

Вписанный четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Четырёхугольник `ABCD` вписан в окружность `omega_1` и середины всех сторон `ABCD` лежат на окружности `omega_2.` Докажите, что `/_ ABD + /_ BDC = 90^@.`



@темы: Планиметрия

20:29 

Планиметрия 8 кл ФМШ

Помогите решить задачу элементарными геометрическими методами (без аналитической геометрии, без тригонометрии).



Условие задачи:
В четырехугольник ABCD вписана окружность. Хорда KN этой окружности лежит на диагонали BD четырехугольника.
Точка M - середина хорды KN. Из этой точки M к вершине A и к вершине C четырехугольника проведены отрезки MA и MC соответственно.
Доказать, что угол CMB равен углу AMB.

Что было сделано (конспективно):
Рассмотрены свойства описанного четырехугольника, вписанных углов,
а также теоремы, связанные с описанными четырехугольниками и вписанными окружностями:
1) Свойства окружности девяти точек (окружность Эйлера); прямая Эйлера.
2) Лемма о трезубце (теорема о трилистнике).
3) Теорема о бабочке.
4) Теорема Ньютона (о прямой, соединяющей середины диагоналей описанного четырехугольника)
и теорема Гаусса (о трех отрезках в произвольном четырехугольнике).

Удалось доказать следующее:
Пусть в рассмотренном выше описанном четырехугольнике сторона BC касается вписанной окружности в точке F, а сторона BA в точке P.
Пусть центр вписанной окружности точка O. Тогда нетрудно показать, что точки O, M, F, B, P лежат на одной окружности с диаметром OB.
Отсюда следует (это тоже несложно показать), что угол FMB равен углу PMB.

Дальше продвинуться не удалось...

@темы: Планиметрия

15:07 

Части кругов

wpoms.
Step by step ...


На прямой выбраны точки P, Q, R и S так, что PQ = RS (см. рис.). Отрезки PQ, RS, PS, QR - диаметры кругов. Прямая MN --- ось симметрии закрашенной области. Докажите, что площадь закрашенной области равна площади круга с диаметром MN.





@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная