• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: планиметрия (список заголовков)
23:05 

Инверсия

wpoms.
Step by step ...


Преобразуйте при помощи инверсии два концентрических, лежащих в одной плоскости, круга в два равных.



@темы: Планиметрия

19:09 

Про треугольник

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что в любом треугольнике со сторонами `a, b, c`, противолежащими углам `A, B, C` , выполняется неравенство (углы измеряются в радианах) `(a*A + b*B + c*C)/(a + b +c) >= pi/3`.
Указание: Используйте тот факт, что из `a >= b >= c` следует `A >= B >= C`.



@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

15:01 

Такая вот геометрия

wpoms.
Step by step ...


В некоторой геометрии работают с двумя типами элементов - точками и прямыми, связанными между собой следующими аксиомами:
I. Для любых двух точек `A` и `B` существует единственная прямая `(AB)`, проходящая через обе точки.
II. На любой прямой есть по крайней мере две различные точки. Существуют три точки, не расположенные на одной прямой.
III. Если точка `В` находится между `A` и `C`, то `B` также располагается между `C` и `A` (`A, B, C` - три различных точки на прямой).
IV. Для любых двух точек `A` и `C`, существует по крайней мере одна точка `B` на прямой линии `(BC)` такая, что `C` располагается между `A` и `B`.
V. Из трех точек на одной прямой, не более одной точки находится между двумя другими.
VI. Если `A, B, C` не расположенные на одной прямой, то существует прямая, не содержащая ни одной из трех точек, которая проходит через точку из `[AB]`и через точку из `[BC]` или `[AC]`. (Через `[AB]` обозначено множество точек , которые находятся между точками `A` и `B`)
Из приведенных выше аксиом выведите следующие утверждения:
Теорема 1. Для любых различных точек `A` и `C` существует по крайней мере одна точка `B`, лежащая между ними.
Теорема 2. Из трех точек, расположенных на одной прямой, одна всегда расположена между двумя другими.



@темы: Планиметрия

10:52 

Здравствуйте!
Тут должна быть какая-то красивая идея, но не могу найти :(
Пусть N - середина стороны AB треугольника ABC, а O - центр вписанной окружности этого треугольника. Прямая NO пересекает AC в т. L. Известно, что NO=OL, BC=8, AC меньше AB и радиус вписанной окружности треугольника ABC равен sqrt(6). Найдите сторону AC и радиус описанной окружности треугольника ABC.

рисунок

@темы: Планиметрия

23:38 

Здравствуйте!
Вначале сделал систему и повыражал всё через подобие 3 треугольников, но как-то запутался :(
Потом пытался через формулы проекций, но то же самое (оно и логично, учитывая, что они являются следствием).
Хочу увидеть подсказку на аккуратное и быстрое решение, заранее спасибо.
Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на 2 треугольника, периметры которых равны 6 и 8. Найти периметр прямоугольного треугольника (сам большой, который разбивают).

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Планиметрия

17:13 

Merissa
Зачем избавляться от комплекса неполноценности? Я им уравновешиваю манию величия.
Вечер добрый, помогите решить.
1. Касательная к окружности, вписанной в треугольник СЕК, пересекает сторону ЕК в точке Р, а КС - в точке Т. Найдите периметр треугольника СЕК если СЕ=7 и периметр треугольника КРТ равен 12.
2. Медианы РС и КЕ треугольника РКМ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке А. Найдите площадь четырехугольника АСМЕ, если РС=9, КЕ=12

@темы: Планиметрия

20:05 

Построение треугольника

wpoms.
Step by step ...


Нам даны три точки на плоскости `P`, `Q`, `R`. Известно, что существует треугольник `ABC`, у которого точка `P` является серединой стороны `BC`, `Q` принадлежит стороне `CA`, `|CQ|//|QA| = 2`, `R` принадлежит стороне `AB`, `|AR|//|RB| = 2`. Найдите и обоснуйте способ построения треугольника `ABC`.



@темы: Планиметрия

21:40 

подскажите с идеей: ГИА геометрия

в трапеции abcd боковая сторона ab перпендикулярна основанию bc. окружность проходит через точки с и d и касается прямой ab в точке е. Найти расстояние от точки е до прямой cd, если ad=4 bc=3

@темы: ГИА (9 класс), Планиметрия

16:26 

Планиметрия. ЕГЭ. С4.

Доброго дня...
Задача 7.
На боковых сторонах AB и CD трапеции с основаниями AD и BC отмечены точки P и Q соответственно, причем PQ || AD. Прямая PQ разбивает трапецию на части, площади которых относятся как 1 : 2. Найдите PQ если AD = a, BC = b.
Рисунок

Случай 1.
SPKQ = PK * PQ * sin(a)/2, SBKC = BK * b * sin(a)/2, тогда SPBCQ = SPKQ - SBKC. SAKD = AK * a * sin(a)/2, тогда SAPQD = SAKD - SPQK. По условию SAPQD = 2 * SPBCQ. Тогда получаем:

2 * (PK * PQ * sin(a) - BK * b * sin(a)/ 2) = AK * a * sin(a) - PK * PQ * sin(a)/2;
Преобразуем чуток и получим:
3 * PK * PQ = AK * a + 2 * BK * b. Тут я решил поделить на АК...
3 * PK/AK * PQ = a + 2 * BK/AK * b. Теперь из подобия заменяем PK/AK на PQ/a...
3* PQ^2 = a^2 + 2 * b^2 => PQ = sqrt( ( a^2 + 2* b^2 )/3 ) . Аналогично для случая 2. Подсчитав, получим, что PQ = sqrt( ( b^2 + 2* a^2 )/3 ). Прошу проверить. Если все правильно, то скажите, пожалуйста, нет ли способа получше, а то это решение какое-то паленое...

Задача 3.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B и углом a при вершине A точка D - середина гипотенузы, а точка С1 симметрична точке С относительно прямой BD. Найдите угол AC1B.
Рисунок


Случай 1. AC1C опирается на диаметр, значит он равен 90 градусов. Т.к. тр. ОBC равнобедренный, то угол OBC = углу OCB = 90 - a. Т.к. OC1BC - выпуклый дельтоид (две пары сторон одинаковой длинны : OC1 = OC (как радиусы), C1B = BC (в силу симметрии ), ьл BO перпендикулярна C1C, откуда получаем, что тр. OC1B = тр OCB и угол OBC1 = OBC = 90-a. Тогда, угол BC1C = 90 - (90 - a) = a. Т.к. угол AC1B = угол AC1C + угол BC1C, то угол AC1B = 90+a.
Случай 2. Т.к. СС1AB - выпуклый дельтоид (две пары сторон одинаковой длинны), то BC1 перпендикулярна AC. Тогда угол AC1B = 90 - угол OAC1 = 90 -a. Второй случай подробно не расписывал... Просьба тоже проверить... Спасибо!

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

13:00 

Планиметрия. ЕГЭ. С4.

Доброго дня!
Задача 1. Медиана БМ треугольника АБС равна его высоте АН. Найдите угол МБС.
2 случая:

1 случай: MH1 || AH. Тогда MH1 - ср. линия тр. AHC и равна половине АН. По условию БМ равно АН, тогда из прямоугольного тр. БМН1 получаем, что катет МН1 равен половинке гипотенузы БМ, откуда делаем вывод, что угол МБС равен 30-ти градусам.
2 случай: МН1 || AH. Тогда МН1 - ср. линия тр. АНС и равна половине АН. По условию БМ равна АН, тогда из прямоугольного тр. БМН1 получаем, что катет МН1 равен половинке гипотенузы БМ, откуда делаем вывод, что уголь МБН1 равен 30-ти градусам, а следовательно, смежный ему угол МБС равено 180-30 = 150 градусов.
Проверьте, пожалуйста, и скажите, верны ли мои утверждения, и если на егэ проводить вот такую аргументацию, поставят ли макс. балл?

@темы: ЕГЭ, Планиметрия

16:20 

Задачка по геометрии

A2kat
Поставил цель, добейся, и точка
Условие: На сторонах треугольника `ABC` взяты такие точки `A_1,B_1,C_1` что `AC_1=1/3*AB,BA_1=1/3*BC,CB_1=1/3*CA`. При пересечении отрезков `A``A_1,BB_1,CC_1` образовался треугольник `A_2B_2C_2`. Найдите отношение площадей треугольников `A_2B_2C_2` и `ABC`
Вот мое решение:
читать дальше

@темы: Планиметрия

17:39 

В равнобедренном треугольнике

A2kat
Поставил цель, добейся, и точка
На боковых сторонах `AB` и `AC` равнобедренного треуольника `BAC` выбраны такие точки `P` и `Q`, что `BP=n*PA`, `AQ=n*QC`. В каком отношении делит прямая `PQ` высоту `AM`?
Вот мое решение:
читать дальше

@темы: Планиметрия

17:07 

Задачка по геометрии

A2kat
Поставил цель, добейся, и точка
Противоположные стороны `AB` и `DC` четырехугольника `ABCD` разделены точками `M` и `N`в одном и том же отношении `k`(т.е. `AM=k*MB, DN=k*NC`) `P` и `Q` - середины сторон `AD` и `BC`. В каком отношении делится каждый из отрезков `MN` и `PQ` точкой их пересечения?
Я решал таким образом: Пусть `MN` и `PQ` пересекаются в точке `O`, тогда для того чтобы точка `O` стала центром масс данного четырехугольника, нужно в точки `A,D` поместить вес равный `1`, а в точки `B,C` вес равный `k`. Отсюда получаем, что вес точки `P` равен `2`,точки `M` равен `k+1`,точки `Q` равен `2k`,точки `N` равен `k+1`. Итог `(PO)/(OQ)=k ; (NO)/(OM)=1`. Правильно ли я решил?

@темы: Планиметрия

18:51 

Комбинаторики и вероятность

капитан панда
Моя жизнь – закрытый дом. Там темно и я его постоянно обыскиваю
Добрый вечер!
Помогите пожалуйста с решением следующей задачи.
В прямоугольном треугольнике катет AC равен 6, а катет ВС равен 8. Из вершины С провели высоту СН и медиану СМ. В треугольнике случайно отметили точку. Найти вероятность того, что эта точка окажется в:
1) треугольнике АСН;
2) треугольнике СНМ;
3) внутри окружности вписанной в треугольник АВС.

@темы: Теория вероятностей, Планиметрия

18:34 

Геометрическая задача.

Белый и пушистый (иногда)
Пишет Гость eek.diary.ru/p103177145.htm?from=60#664530585

В треугольнике ABC угол при вершине В равен 60 град. На стороне АВ взята точка D так что BD:AD=1 : 3. Найдите длину стороны АВ, если известно, что радиус окружности,касающейся прямой ВС и проходящей через точки А и D, равен 7 sqrt(3).
не знаю как решать

Рекомендуется решать примерно таким образом:
Пусть K - точка касания указанной окружности со стороной BC.
1. Докажите, что отрезок `KD _|_ AB` (для этого найдите сначала BK);
2. Докажите, что AK - диаметр проведенной окружности
3. Остается собственно нахождение длины стороны. Ответ: 1428

Upd (Спасибо за подсказку)
Пусть точка K лежит на продолжении прямой BC за точку B.
Тогда последовательно находим BK, KD (выражаем их через BD), а затем, по теореме синусов, диаметр окружности.
Ответ: 12

@темы: Планиметрия

22:53 

Неравенство

wpoms.
Step by step ...


Точка `X` лежит на прямой между принадлежащими ей точками `A` и `D`. На плоскости выбрана точка `B`, для которой `/_ABX` больше `120^@`. Точка `C` лежит на отрезке `BX`. Докажите неравенство `2|AD| >= sqrt(3)*(|AB| + |BC| + |CD|)`.



@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

19:22 

Геометрия,трапеция

Добрый вечер!

Вершина С прямоугольника ABCD лежит на стороне КМ равнобедренной трапеции АВКМ (ВК \\ AM), Р — точка пересечения отрезков AM и CD. Найти углы трапеции и отношение площадей прямоугольника и трапеции, если АВ = 2ВС, АР = ЗВК.

Вот рисунок. Определила показанные углы... А дальше - ступор. Подскажите, пожалуйста


@темы: ЕГЭ, Планиметрия

21:22 

Большие Кругляши

wpoms.
Step by step ...


В деревне Большие Кругляши десять домов. Все дома расположены по окружности радиуса `R` метров на одинаковом расстоянии от ближайших соседей. Каждый год на Пасху сельский священник идёт с пасхальным визитом по всем домам, как показано на рисунке 1, начиная и заканчивая маршрут в точке `A`. В этом году священник решил пройти по другому маршруту, который показан на рисунке 2. Докажите, что в этом году священник пройдёт на `10*R` метров больше.




@темы: Планиметрия

20:15 

Помогите решить задачу

Дан треугольник ABC. AH - высота. вектора AB= b, AC=с. AH перпендикулярен BC. Выразить AH через b и с.

@темы: Планиметрия

19:11 

Кольцо

wpoms.
Step by step ...


Ракель поставила 650 точек в круге радиусом 16 см. Докажите, что есть кольцо с внутренним радиусом 2 см и внешним радиусом 3 см, содержащее не менее 10 из этих точек.



@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная