• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: планиметрия (список заголовков)
13:39 

Задачи С4 ЕГЭ 2014

Задачи С4 ЕГЭ 2014

C4.28.04.2014.1 Около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка `ABC` опи­са­на окруж­ность с цен­тром `O`. На про­дол­же­нии от­рез­ка `AO` за точку `O` от­ме­че­на точка `K` так, что `/_BAC + /_AKC=90^@`.
а) До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник `OBKC` впи­сан­ный.
б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка `OBKC`, если `cos /_BAC = 3/5`, а `BC=48`.
Ответ: `25`




C4.08.05.2014.1 В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке `ABC` с углом `120^@` при вер­ши­не `A` про­ве­де­на бис­сек­три­са `BD`. В тре­уголь­ник `ABC` впи­сан пря­мо­уголь­ник `DEFH` так, что сто­ро­на `FH` лежит на от­рез­ке `BC`, а вер­ши­на `E` — на от­рез­ке `AB`.
а) До­ка­жи­те, что `FH=2DH`.
б) Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка `DEFH`, если `AB=4`.
Ответ: `24-12sqrt(3)`




C4.05.06.2014.1 Около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC с ос­но­ва­ни­ем BC опи­са­на окруж­ность. Через точку C про­ве­ли пря­мую, па­рал­лель­ную сто­ро­не AB. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­ведённая в точке B, пе­ре­се­ка­ет эту пря­мую в точке K.
а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник BCK — рав­но­бед­рен­ный.
б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка BCK, если `cos /_BAC = 3/4`.
Ответ: `2`

C4.05.06.2014.2 Вы­со­ты `B B_1` и `C C_1` ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка `ABC` пе­ре­се­ка­ют­ся в точке `H`.
а) До­ка­жи­те, что `/_AHB_1 = /_ACB`.
б) Най­ди­те `BC`, если `AH = 4` и `/_BAC = 60^@`.
Ответ: `4sqrt(3)`

C4.05.06.2014.3 Вы­со­ты `B B_1` и `C C_1` ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка `ABC` пе­ре­се­ка­ют­ся в точке `H`.
а) До­ка­жи­те, что `/_AHB_1 = /_ACB`.
б) Най­ди­те `BC`, если `AH = 21` и `/_BAC = 30^@`.
Ответ: `7sqrt(3)`

C4.05.06.2014.4 В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ту BH из точки H на сто­ро­ны AB и BC опу­сти­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры HK и HM со­от­вет­ствен­но.
а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник MBK по­до­бен тре­уголь­ни­ку ABC.
б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка MBK к пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка AKMC, если BH = 2, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен 4.
Ответ: `1/15`

C4.05.06.2014.5 Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжения оснований.
а). Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б). Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей стороной трапеции и делит её на отрезки, равные 2 и 18.
Ответ: `2sqrt(178)`

C4.05.06.2014.6 Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает сторону BC в точке K, а окружность, описанную около треугольника ABC - в точке M .
а). Докажите, что треугольник BMC равнобедренный;
б). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC, если AC =10 , BC = 11 и AB = 12.
Ответ: `(20sqrt(39))/39`




C4.19.06.2014.1 В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на бис­сек­три­са АМ. Пря­мая, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну В пер­пен­ди­ку­ляр­но АМ, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке N. АВ = 6; ВС = 5; АС = 9.
а) до­ка­жи­те, что бис­сек­три­са угла С делит от­ре­зок МN по­по­лам,
б) пусть Р — точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка АВС. Най­ди­те от­но­ше­ние АР : РN.
Ответ: 3:1




C4.09.07.2014.1 К двум непересекающимся окружностям равных радиусов проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках А и В. Через точку С, лежащую на отрезке АВ, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и E, причем отрезки СА и СD касаются одной окружности, а отрезки СВ и СЕ – другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE, если радиусы окружностей равны 5, расстояние между их центрами равно 18, а АС=8
Ответ: 12,375.




C4.16.07.2014.1 Диагональ `AC` разбивает трапецию `ABCD` с основаниями `AD` и `BC`, из которых `AD` большее, на два подобных треугольника.
а) Докажите, что `/_ABC = /_ACD`.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что `BC=18`, `AD=50` и `cos /_CAD = 3/5`.
Ответ: `8sqrt(13)`

По материалам сайтов reshuege.ru, alexlarin.net, alexlarin.com, webmath.exponenta.ru.

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

00:31 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


Рассмотрим треугольники `ABC` и `EDC`, у которых, соответственно, углы `A` и `D` прямые (см. рисунок). Докажите, что если `E` является серединой стороны `AC`, то `AB < BD`.




@темы: Планиметрия, Доказательство неравенств

03:59 

Углы

wpoms.
Step by step ...


В треугольнике `ABC` точка `G` - пересечения медиан, а точка `D` - середина `CA`. Прямая, проходящая через `G` параллельно `BC`, пересекает `AB` в точке `E`. Докажите, что `/_AEC = /_DGC` тогда и только тогда, когда `/_ACB = 90^@`.



@темы: Планиметрия

21:15 

Равенство отрезков

wpoms
Step by step ...


Докажите, что из AK = KB следует KP = KQ.


@музыка: Keiko Matsui - Flowers Of The Sea

@темы: Планиметрия

01:55 

Доказать равенство

wpoms.
Step by step ...


Две окружности разных радиусов с центрами в точках `B` и `C` касаются внешним образом в точке `A`. Общая касательная, не проходящая через `A`, касается первой окружности в точке `D` и второй окружности в точке `E`. Прямая, проходящая через `A` и перпендикулярная `DE`, пересекается с серединным перпендикуляром к `BC` в точке `F`. Докажите, что `BC = 2AF`.



@темы: Планиметрия

00:51 

Прямой угол

wpoms.
Step by step ...


Точки `A`, `B`, `C`, `D` и `E` лежат, в этом порядке, на окружности и прямые `AB` и `ED` параллельны. Докажите, что `/_ABC = 90^@` тогда и только тогда, когда `AC^2 = BD^2 + CE^2`.



@темы: Планиметрия

23:29 

Окружности

wpoms.
Step by step ...


Даны три окружности с радиусами `r`, `r'` и `r''`, каждая из которых внешним образом касается двух других. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются три центра этих окружностей.



@темы: Планиметрия

02:28 

Правильный треугольник

wpoms.
Step by step ...


Даны две параллельные прямые `r` и `r'` и точка `P` на плоскости, лежащая между прямыми. Постройте равносторонний треугольник, одной из вершин которого является точка `P`, а две другие лежат по одной на данных прямых.




@темы: Планиметрия

16:04 

wpoms.
Step by step ...


Точка движется по сторонам треугольника `ABC`. `А (-1.8; 0)`, `B (3.2; 0)`, `С (0; 2.4)`. Определите положение точки, для которой сумма расстояний до трех вершин максимальна или минимальна.




@темы: Аналитическая геометрия, Задачи на экстремум, Планиметрия

23:02 

Построение ломаной с минимальным периметром

Пример из брошюры Фискович Т.Т. Геометрия без репетитора
Впал в ступор, не могу понять какое отношение расположение точек на одной прямой имеет к периметру ломанной, если периметр ломанной это сумма длин, составляющих ее отрезков. Пожалуйста, помогите понять о чем говорит автор.

читать дальше

@темы: Планиметрия

04:26 

Перпендикуляры

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точки `D`, `E`, `F` являются основаниями перпендикуляров, проведенных из вершин `A`, `B`, `C` к сторонам `BC`, `CA`, `AB`, соответственно. Точки `P`, `Q`, `R` - основания перпендикуляров, опущенных из `A`, `B`, `C` на прямые `EF`, `FD`, `DE`, соответственно. Докажите, что прямые `AP`, `BQ`, `CR` пересекаются в одной точке.



@темы: Планиметрия

16:25 

Планиметрия С4

diletant95
Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q под прямым углом. Прямые AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что BC=5, AD=10, BQ=3. Найдите AP.
Рисунок
Некоторые соображения на счет задачи:
1) В четырехугольник можно вписать окружность если AB+CD=15.
2) Точки касания сторон AB и CD обозначим как Q и K. KP=QP

@темы: Планиметрия

12:02 

Планиметрия

diletant95
Дан ромб ABCD с диагоналями AC=24 и BD=10. Проведена окружность радиусом (5*(2^(1/2))/2 с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину И, касается этой окружности и пересекает прямую CD в точке M. Найти СM
Решение:

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Планиметрия

23:26 

Разрезание квадрата

wpoms.
Step by step ...


Покажите, и обоснуйте, как разделить квадрат на не более чем пять частей, из которых можно сложить три квадрата различного размера.



@темы: Планиметрия

23:39 

Равнобедренные треугольники

wpoms.
Step by step ...


Точка `F` является серединой стороны `BC` треугольника `ABC`. Равнобедренные прямоугольные треугольники `ABD` и `ACE` построены внешним образом на сторонах `AB` и `AC` с прямыми углами `D` и `E`, соответственно. Докажите, что `DEF` является равнобедренным прямоугольным треугольником.



@темы: Планиметрия

20:50 

статуя Галдима Паиса

wpoms.
Step by step ...


Адерито идет по площади Республики в городе Томаре к статуе Галдима Паиса, Великого магистра ордена Тамплиеров.

Высота статуи `h` метров, высота пьедестала `p` метров. Глаза Адерито находятся в `e`метрах от земли, причем `0 < e < p`. На каком расстоянии от пьедестала должен остановиться Адерито, чтобы статуя выглядела как можно больше?
Подсказка: Обозначьте наивысшую точку статуи через A, нижнюю точку статуи через B, а глаза Адерито через C. Предполагается, что перпендикуляр, опущенный из точки A на поверхность земли, проходит через точку B.
Статуя будет казаться наибольшей, когда угол ACB максимален.



@темы: Планиметрия, Стереометрия

22:59 

Отношение радиусов

wpoms.
Step by step ...


На рисунке представлен равносторонний треугольник `ABC`.

Точка `D` является серединой стороны `BC` и является центром полу-окружности радиуса `R`, касающейся сторон `AB` и `AC` и окружности радиуса `r`, также касающейся сторон `AB` и `AC`. Найдите отношение `r/R`.



@темы: Планиметрия

23:24 

Угол между медианой и стороной треугольника

Можно ли выразить угол между медианой и стороной треугольника, к которой проведена медиана, если углы этого треугольника известны?

@темы: Планиметрия

17:46 

Треугольник. Координаты

Дамы и господа, нужна ваша помощь.
Задача элементарна, но есть одна маленькая проблема. Собственно, задача:
Есть треугольник. Известны сторона (т.е. координаты х1, у1 и х2, у2) и два прилягающих к нему угла (в радианах). Вопрос: как найти координаты третьей вершины?

Проблема заключается в том, что мне надо будет вбить алгоритм в код программы, поэтому никакие "возьми транспортир и линейку и посчитай по клеточкам" не подходят. Есть, конечно, вариант "построй уравнения 2-х прямых и реши систему", но воплотить ее в жизнь тоже сложновато. Вдруг кто знает какую-нибудь чудо-формулу?
PS: да, в принципе, есть еще значение 3-го угла и длины двух других сторон.

Комментарий к картинке:
черный цвет - изначально задано.
синий - находится в 3 действия.
бордовый - надо найти.

читать дальше


@темы: Тригонометрия, Планиметрия, Аналитическая геометрия

11:50 

Проективная геометрия

Помогите разобраться. Дано изображение окружности (эллипс) и отрезок АС в её плоскости. Построить изображение АВС равнобедренного треугольника, Сторону АС которого изображает данный отрезок, если у оригинала треугольника АВС высота в два раза больше основания АС.


@темы: Планиметрия

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная