• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: головоломки и занимательные задачи (список заголовков)
06:05 

Математический конкурс в ЮУрГУ

wpoms.
Step by step ...
Математический конкурс в ЮУрГУ

Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин

Задания конкурса № 51

Задача 301. [Нечётные цифры] Вася умножил натуральное число п > 1 на 999 999 997. В полученном числе все цифры оказались нечётными. Найдите наименьшее возможное значение п.

Задача 302. [101 корова] B cтаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся можно разделить на 5 групп по 20 коров в каждой, так что суммарный вес коров по всем группам один и тот же. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.

Задача 303. [Произведение косинусов] Пусть n — натуральное число. Докажите, что
cos(pi/(2n+1)) * cos((2pi)/(2n+1)) * cos((3pi)/(2n+1)) * ... * cos((n pi)/(2n+1)) = 1/2^n.

Задача 304. [Найдите угол] В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол A=30 градусов; BC+CD+DB=AC. Найдите угол C.

Задача 305. [Циклическое неравенство] Для положительных чисел a_1, a_2, ..., a_n (n>3) докажите неравенство
1 < (a_1)/(a_n+a_1+a_2) + (a_2)/(a_1+a_2+a_3) + ... + (a_n)/(a_{n-1}+a_n+a_1) < n-2.

Задача 306. [Оцените многочлен] Многочлен второй степени f(x) на концах отрезка [a;b] и в его середине принимает значения, по модулю не большие 1. Каково наибольшее возможное значение f(x) на этом отрезке?

Условие в формате pdf смотрите на указанном выше сайте.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

19:32 

Волновой алгоритм

Как доказать, что от клетки A до клетки B нельзя дойти за более четырех шагов?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

20:18 

Пятизначные числа

Уважаемое сообщество , не могу найти решение задачи - доказательство:
Существует ли такое пятизначное число, которое при возведении в произвольную натуральную степень будет оканчиваться на те же пять цифр, что и исходное число, притом в том же порядке?
Ответы нашел - например 90625, 890625. Но не могу этого доказать

@темы: Головоломки и занимательные задачи

14:34 

Пятнашки

@Заноза
Yesterday I expected a miracle that’s why I opened the door.
Можно ли "вырулить" из такой ситуации?



Я знаю, это тоже математика. :yes:

@темы: Головоломки и занимательные задачи

14:31 

ковер

вейко
что толку горевать?
08:38 

Математический конкурс в ЮУрГУ

wpoms.
Step by step ...
Математический конкурс в ЮУрГУ

Сайт: vk.com/konkursinsusu
Организатор: А. Эвнин

Задания конкурса № 44

Задача 259. [Хоровод] В хоровод стало 40 детей. Оказалось, что 22 из них держали за руку мальчика, а 30 — девочку. Сколько было мальчиков в хороводе?

Задача 260. [Белые мыши] Имеется 100 бутылок с вином, в одной из которых вино испорчено. Требуется в течение часа при помощи белых мышей обнаружить плохое вино. Если мышь выпьет плохого вина, через час она станет синей. Разрешается накапать вина из разных бутылок (но не более чем из пяти) каждой мыши, и дать им выпить одновременно. Какого наименьшего числа мышей достаточно для решения поставленной задачи?

Задача 261. [Прямой угол] В треугольнике ABC проведены биссектрисы `A A_1`, `B B_1`, `C C_1`. Известно, что `/_ABC = 120^@`. Докажите, что треугольник `A_1B_1C_1` — прямоугольный.

Задача 262. [Игра в определитель] Первоначально таблица 5x5 пуста. Аня выбирает любую клетку и записывает в неё любое число от 1 до 25. Затем Ваня в другую клетку записывает число от 1 до 25, отличное от записанного Аней. И далее игроки по очереди записывают в незанятые клетки числа от 1 до 25, отличные от ранее записанных. Если определитель соответствующей матрицы делится на 25, выигрывает Аня; в противном случае побеждает Ваня. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 263. [Числа по кругу] При каких `n > 3` можно по кругу расставить числа 1, 2,..., `n- 1` так, чтобы разность квадрата каждого и произведения соседних делилась на `n`?

Задача 264. [Рулетка] На игровой рулетке `n` секторов с числами 1, 2,..., `n`. Сколько в среднем раз нужно прокрутить барабан, чтобы общая сумма выпавших очков стала не меньше `n`?

@темы: Олимпиадные задачи, Головоломки и занимательные задачи

19:35 

wpoms
Step by step ...
Очередная порция задач из Математики в школе. (vk.com/club1126038)

5463.
Сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5464.
На сторонах `AB` и `BC` треугольника `ABC` выбраны точки `M` и `N,` соответственно. Известно, что `BM = BN` и `AO = OC,` где `O` --- точка пересечения отрезков `AN` и `CM.` Докажите, что треугольник `ABC` равнобедренный.
%Из задач олимпиады «Формула Единства/Третье Тысячелетие», 2015-2016

5465.
Существуют ли такие целые числа `m` и `n,` что:
а) уравнение `x^2 + mx + n = 0` не имеет корней, а уравнение `[x^2] + mx + n = 0` имеет?
б) уравнение `x^2 + mx + 2n = 0` не имеет корней, а уравнение `[x^2] + 2mх + n = 0` имеет?
(`[\alpha]` --- целая часть числа `\alpha.`)
%А.И. Храбров (С.-Петербург)

5466.
Пусть `l` --- общая внешняя касательная к окружностям `S_1` и `S_2,` касающимся друг друга внешним образом, а `C_1` --- окружность, вписанная в криволинейный треугольник, ограниченный `S_1,` `S_2` и `l.` Окружности `C_2,` ..., `C_n` построены так, что `C_{k+1}` касается внешним образом `S_1,` `S_2` и `C_k,` `k = 1, ..., п-1` (рис. 1).

Найдите отношение расстояния от центра окружности `C_n` до прямой `l` к радиусу этой окружности.
%А.Ю. Эвнин (Челябинск)

5467.
Имеется `n`-вершинный граф, про который мы должны выяснить, связный ли он. За один шаг можно про любую пару вершин узнать, соединены ли эти вершины ребром. Существует ли алгоритм, гарантирующий нам выполнение задачи быстрее, чем за `(n(n-1))/2` шагов?
%К.А. Кноп (С.-Петербург)

@темы: Головоломки и занимательные задачи

21:45 

wpoms
Step by step ...
Математика в школе, № 31,2

5453.
У царя Гиерона есть 11 слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, ..., 11 мин. Ещё у него есть мешок, который порвётся, если в него положить больше 11 мин. Архимед узнал веса всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток весит 1 мину. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого?
%И.И. Богданов (Москва), К.А. Кноп (С.-Петербург)

5454.
Непустое множество `A \subseteq R` назовём заполненным, если для любых `x, y \in R` (не обязательно различных и не обязательно лежащих в `A`) таких, что `(x+y) \in A`, число `xy` также лежит в `A`. Найдите все заполненные множества.
%Н.X. Агаханов (Москва)

5455.
Каким может быть число `a>0`, если для некоторой строго убывающей функции `f: (0, +\infty) \to (0, +\infty)` и любого `x \in (0, +\infty)` выполняется неравенство `f(x) >= af(x + f(x))`?
%Ш.Н. Исмаилов (Ташкент, Узбекистан)

5456.
Каждая прямая, проходящая через пару смежных вершин `n`-угольника, содержит ещё хотя бы одну из его вершин. Каким наименьшим может быть число `n`?
%Е.В. Бакаев (Москва)

5457.
Докажите, что неравенство
`{n sqrt2} [n sqrt2] < 1/2`
имеет бесконечное множество натуральных решений (`{a}` и `[a]` -- дробная и целая части числа `a` соответственно).
%М. А. Муртузалиев, Ш.Г. Гамидов (Махачкала)

---------------------------------------
1 vk.com/club1126038
2 В журнале не указано, что некоторые задачи предлагались на областном этапе российской олимпиады.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

21:05 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
О беспорядочном порядке

Иногда в условиях задач можно увидеть словосочетания в некотором порядке, в каком-то порядке.

Например, задача 10.4 регионального этапа:
По кругу стоят `10^{1000}` натуральных чисел. Между каждыми двумя соседними числами записали их наименьшее общее кратное. Могут ли эти наименьшие общие кратные образовать `10^{1000}` последовательных чисел (расположенных в каком-то порядке)?
Решение:
Пусть `n = 10^1000`. Обозначим исходные числа (в порядке обхода) через `a_1, ..., a_n`; мы будем считать, что `a_{n+1} = a_1`. Положим `b_i = (a_i, a_{i+1})`. Предположим что `b_1, ..., b_n` – это `n` подряд идущих натуральных чисел.
Рассмотрим наибольшую степень двойки `2^m`, на которую делится хотя бы одно из чисел `a_i`. Заметим, что ни одно из чисел `b_1, ..., b_n` не делится на `2^{m+1}`. Пусть для определённости `a_1` делится на `2^m`; тогда `b_1` и `b_n` кратны `2^m`: `b_1 = 2^m x`, `b_n = 2^m y` при некоторых нечётных `x` и `y`. Без ограничения общности можно считать, что `x < y`. Тогда среди `n` последовательных чисел `b_1, ..., b_n` должно быть и число `2^m(x + 1)` (поскольку `2^m x < 2^m(x + 1) < 2^m y`). Но это число делится на `2^{m+1}` (так как `x + 1` чётно), что невозможно. Противоречие.

Иногда предположение об упорядоченном порядке приводит к плачевным результатам. Излишне эмоциональный комментарий к этой задаче можно посмотреть на youtube

@темы: Головоломки и занимательные задачи

07:03 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
В московском магазине "Золотой процент" продают всякие диковинки, в том числе и волшебную смесь "Ум, честь и совесть". Магазин закупает смесь у поставщика в упаковках весом 5 дрымов. Недавно, после лицезрения группы казаков с нагайками, требующих отменить спектакль по Набокову, четверо зевак зашли в этот магазин и решили приобрести одну упаковку смеси на четверых. У каждого из них было по семь монет и этого хватило на оплату покупки. Они заплатили 28 монет, взяли чек и, собираясь разделить покупку поровну, подошли к продавцу. Они попросили продавца помочь им сделать так, чтобы в каждом из четырех фасовочных пакетов оказалось одно и тоже количество смеси. У продавца есть очень точные двухчашечные весы и две гирьки, масса одной равна 5 грымам, масса второй - 42 грыма (1 дрым = 1000 грымов). Весы не очень прочные, если при взвешивании хотя бы на одной чашке весов масса груза превысит 100 грымов, то весы сломаются. За какое наименьшее количество взвешиваний продавец сможет выполнить просьбу покупателей?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

06:43 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
ЮНЫЕ МАТЕМАТИКИ «СИРИУСА» СОЗДАЛИ ГРАНДИОЗНЫЕ АРТ-ОБЪЕКТЫ
картинка
читать дальше на сайте Сириуса

Очный тур отбора на декабрьскую смену, задачи и решения: 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс
Очный тур отбора на январскую смену, задачи и решения: 7-10 класс

@темы: Головоломки и занимательные задачи

08:49 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Фокус города: Mathcat-2015. Бизнесмен Вася вкладывает в песо

"Бизнесмен Вася хранит свои сбережения в тугриках и песо. Вчера в перерасчете на рубли у него тугриков было вдвое больше, чем песо. Сегодня курс тугриков по отношению к рублю вырос на 6%, а курс песо – на 12%. На сколько процентов увеличились сбережения Васи?" - это математическая акция Mathcat и задачка не самого сложного "желтого" уровня, зато с актуальнейшим смыслом. Победитель прошлогодней акции Олег Елкис щелкает такие, как орехи. Организаторы акции в этом году знатока очень порадовали: он смог решить только 7 задач из 10-ти, хотя год назад успел за отведенное время решить задания чуть ли не всех уровней.

читать дальше

… А сбережения бизнесмена Васи, кстати, увеличились на 8%. Олег Елкис решил задачу в 3 секунды. "Эх, над было все в песо держать", - добавил он.

Ольга Берес

Условия и решения задач можно посмотреть на сайте mathcat.info.



Анисимов Н.Ф., Гашков С.Б,, Сергеев И.Н. Задачи математических олимпиад для школьников - М.: МГУ, 1984. - 38с.
Сборник адресован прежде всего школьникам старших классов, увлекающимся математикой. Он может быть использован также преподавателями математики для проведения олимпиад или факультативных занятий В сборник вошли задачи некоторых олимпиад 1983-84 учебного года, в организации которых большую роль сыграл механико-математический факультет Московского университета.
Скачать

Гашков С.Б., Сергеев И.Н. Задачи математических олимпиад для школьников - М.: МГУ, 1986. - 38с.
Сборник адресован прежде всего школьникам старших классов, увлекающимся математикой. Он может быть использован также преподавателями математики для проведения олимпиад или факультативных занятий В сборник вошли задачи некоторых олимпиад 1985-86 учебного года, в организации которых большую роль сыграл механико-математический факультет Московского университета.
Скачать

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Ссылки

11:55 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Получил письмо с такой цитатой:

мы сегодня немного потроллили школьников 8 класса такой вот задачей:
Прямые, содержащие стороны некоторого четырехугольника, заданы уравнениями y=ax+b, y=ax+c, y=dx+b, y=dx+c. Найдите координаты точки пересечения диагоналей этого четырёхугольника.


Речь идет о задании олимпиады, которую проводили на днях. Интересно, имеют ли тролли-составители представление о том, по каким учебникам в каком классе в каком полугодии изучается линейная функция и ее график?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

06:56 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады в Москве проводился 6 декабря 2015 года.
Задачи и решения: olympiads.mccme.ru/mmo/okrug/okr15.htm

Удивительная задача.

8.4. Двенадцать стульев стоят в ряд. Иногда на один из свободных стульев садится человек. При этом ровно один из его соседей (если они были) встает и уходит. Какое наибольшее количество человек могут одновременно оказаться сидящими, если вначале все стулья были пустыми?
Ответ: 11.
Решение. Оценка. Заметим, что все стулья одновременно занять невозможно, так как в тот момент, когда сядет человек на последний незанятый стул, один из его соседей встанет. Следовательно, одновременно сидящих может быть не больше, чем 11.
Пример. Покажем, как посадить 11 человек. Пронумеруем стулья числами от 1 до 12. Первый стул занять легко. Второй стул займем в два этапа. На первом этапе человек садится на третий стул, а на втором этапе посадим человека на второй стул, а сидящий на третьем стуле встанет. Дальше действуем аналогично: если заняты стулья с номерами от 1 до k, то сначала посадим человека на стул с номером k + 2, а затем посадим на стул с номером k + 1, освобождая при этом стул с номером k + 2. После того как эта операция будет проделана для всех k от 1 до 10, стулья с номерами от 1 до 11 будут заняты, а двенадцатый стул — свободен.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

17:50 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
На шестом занятии кружка Экспериментальная математика шесть шестиклассников играли в такую игру : два участника кружка одновременно подбрасывали по одной монете достоинством в шесть рублей, если выпадали два орла или две решки, то каждый получал одно очко, в противном случае проигравший - тот, у кого выпала решка - получал на очко меньше. Каждый сыграл с каждым по одному разу, монеты не зависали в воздухе, не проваливались в щели, тем самым каждая из них падала той или иной стороной вниз, что и давало возможность определить исход каждой игры. Сколько очков получал за выигрыш в одной игре победитель неизвестно, известно лишь, что после завершения всех игр оказалось, что победитель этого турнира набрал 10 очков, двое проигравших набрали по 3 очка, а остальные - 7, 6, 6 очков. Определите, какое целое количество очко получал за выигрыш в одной игре победитель.

А. Шаповалов утверждает, что условие неверно. Найдите ошибку.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

20:31 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
В каждой целочисленной точке плоскости растет дерево диаметром `10^(−6)`. Дровосек срубил дерево, стоящее в точке (0,0), и встал в центр пенька. Считайте каждое дерево бесконечной цилиндрической колонной, ось симметрии которой проходит через целочисленную точку плоскости.
а) Ограничена ли часть плоскости, которую он сумеет увидеть?
б) Если часть плоскости, которую он сумеет увидеть, ограничена, то чему равна её площадь?

Решение пункта а, использующее теорему Минковского, можно посмотреть в книге Прасолова (Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. — 640 с.: ил., задача № 24.15). Несложно доказать ограниченность и с помощью теоремы Кронекера.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

11:46 

День рождения буквы Ё.

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
День рождения буквы Ё.

Как утверждает любимый многими поисковик google.ru, сегодня отмечается День рождения буквы Ё.

Из википедии

Предположу, что обсценные слова русского языка известны во многих странах мира, поэтому можно считать этот праздник всемирным.




Умение искать неточности в решениях задач - одно из тех искусств, которым должны владеть и ученики и преподаватели. Вот еще одно ghjcnjt задание такого типа из олимпиады Формула единства 2014/15.

Натуральные числа `a`, `b`, `c` и `d` таковы, что `2015^a + 2015^b = 2015^c + 2015^d`. Могут ли быть различными числа `a^{2015} + b^{2015}` и `c^{2015} + d^{2015}`?

Ответ: не могут.
Решение. Не умаляя общности, можно считать, что `a >= b` и `c >= d`. Заметим, что тогда `a = c`, в противном случае имеем:
`2015^a + 2015^b > 2015^a > 2015^{a-1} + 2015^{a-1} >= 2015^c + 2015^d`.
Значит, `2015^b = 2015^d`, откуда `b = d`. Теперь очевидно, что
`a^{2015} + b^{2015} = c^{2015} + d^{2015}`.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Праздники

10:43 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Пишет kostyaknop:
22.11.2015 в 09:20


Насколько я понимаю по полному отсутствию комментариев, никто из читателей не торопится искать ошибки.
А поскольку я тоже не вижу существенных огрехов в этом тексте, то прошу автора самостоятельно указать на список того, что он считает ошибками, чтобы мы их поправили и не тиражировали. Разумеется, если согласимся с замечаниями.

URL комментария

Я и сам удивлен тем, что никто не предложил правильного решения. Очевидно, что поставить плечом к плечу 2015 сотрудников вдоль линии протяженностью 1 километр затруднительно, следовательно их нужно немного отодвинуть от внешней границы охраняемого объекта. Это приводит к простому решению : равномерно распределим всех сотрудников по окружности с центром в центре охраняемого объекта и радиусом миллион миллионов километров. Все условия выполнены - и сотрудники вокруг объекта и с расстояниями все хорошо.

Теперь посмотрим на официальное решение.

читать дальше

@темы: Олимпиадные задачи, Головоломки и занимательные задачи

13:54 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области для добычи `x` кг алюминия в день требуется `x^2` человеко-часов труда, а для добычи `y` кг никеля в день требуется `y^2` человеко-часов труда. Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля.
а) Какую наибольшую массу метал лов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
б) Верно ли, что на добычу 1 тонны металла во второй области можно потратить менее человеко-минуты?

@темы: ЕГЭ, Головоломки и занимательные задачи

05:58 

Холщовый мешок
Соединённые Штаты являются для всего мира совестью
Антье и мантисса

Семенов И. Л. Антье и мантисса. Сборник задач с решениями
Аннотация: Сборник содержит задачи по математике на тему антье и мантисса (целая и дробная части) действительного числа. Книга предназначена для учеников и учителей старших классов с углубленным изучением математики и может использоваться в качестве самоучителя. Представлены методы решения типовых задач, а также полные и подробные решения ко всем задачам. Любители математики найдут в сборнике довольно сложные олимпиадные задачи.
Библиотека ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Олимпиада для пенсионеров и других любителей математики

состоится 28 ноября. Подробности на сайте mathcat.info

@темы: Головоломки и занимательные задачи

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная