• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: математический анализ (список заголовков)
11:28 

Задача из Демидовича

Число х=12,125 содержит 3 верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа.

Рассуждал следующим образом. Считал, что три цифры после запятой - верные. Составлял уравнение: e=∆x/x∙100%, принимая что ∆x=k∙〖10〗^(-2), где k - двухзначное число от 10 до 29. Таким образом получал относительную погрешность, максимальную, в 0,23%.

Рассуждая, что 3 верных знака - это первые три цифры, получал относительную погрешность максимальную в 0,8%. Оба результата с ответом не сходятся.

@темы: Математический анализ

23:39 

найти область сходимости ряда

Здравствуйте! Нужно найти область сходимости степенного ряда:

`sum_(n = 1)^infty (a^n/n + b^n/n^2)*x^n`

На другом форуме мне подсказали: Пускай c=max(|a|,|b|). Рассмотрите случаи c<1, c=1, c>1.

Но я все равно не понимаю, как это применить. Может, кто-нибудь расшифрует?

Забыла указать (a > 0, b > 0)

@темы: Математический анализ, Ряды

14:11 

Остаточный член в формуле Тейлора

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Помогите пожалуйста разобраться с остаточным членом в форме Шлемильха и Роша.
Читаю я тут Фихтенгольца и смотрю как там остаточные члены выводятся. Не в форме Пеано.
Будет возможно долго, но пожалуйста прочтите краткий экскурс, кто не в курсе как оно по Фихтенгольцу)) Вопрос у меня довольно простой.
Ну значит там говорится...
1) рассматривается какой-то отрезок `[x_0, x_0 + H]`, ну и на нем существуют
и непрерывны первые n производных функции `f(x)` (`f'(x), f''(x), ... , f^(n)(x)`), а также существует и конечна `n+1` производная.
2) Дальше в силу `r_n(x) = f(x) - p(x)` вытекает:
`r_n(x) = f(x) - f(x_0) - ((f'(x_0))/(1!)) * (x - x_0) - ((f''(x_0))/(2!)) * (x - x_0) - dots - ((f^(n)(x_0))/(n!)) * (x - x_0)`
3) Потом, фиксируя определенное значение на данном промежутке, вводится вспомогательная функция:
`varphi(z) = f(x) - f(z) - ((f'(z))/(1!)) * (x - z) - ((f''(z))/(2!)) * (x - z) - dots - ((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`, где `z in [x_0, x]`
Также на `(x_0, x)` существует `varphi'(z) = -((f^(n)(z))/(n!)) * (x - z)`
4) Вводится произвольная функция `psi(z)`, которая никак не определяется, только со свойствами: непрерывна на промежутке `[x_0, x]` и
имеет ненулевую производную на `(x_0, x)`.
Почти приехали))
5) Применяем формулу Коши к `varphi(z)` и `psi(z)` получаем:
`(varphi(x) - varphi(x_0))/(psi(x) - psi(x_0)) = (varphi'(c))/(psi'(c))`, где `x_0 < c < x` или `c = x_0 + theta(x - x_0)`, где `0 < theta < 1`
6) В силу того, что `varphi(x) = 0, varphi(x_0) = r_n(x), varphi'(c) = -(f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n` мы получаем
`r_n(x) = (psi(x) - psi(x_0))/(psi'(c)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
И вот теперь получается так, что подставляя вместо `psi(z)` любые, удовлетворяющие условиям функции, мы получаем различные формы дополнителного члена.
Внимание вопрос.
Пусть `psi(z) = (x - z)^p,p>0` => `psi'(z) = -p(x - z)^(p-1), x_0 < z < x`
Тогда `r_n(x) = (-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1)) * (f^(n+1)(c))/(n!) * (x - c)^n`
Это как так получилось-то? Ну я про последние строчки. Как мы так подставляем, что получается множитель `(-(x-x_0)^p)/(-p(x-c)^(p-1))`?
Причем понятно как получился знаменатель примерно. Он как производная выглятит. А вот как числитель? Такое ощущение складывается, что `psi(x) = 0`.

@темы: Математический анализ

16:05 

Определить область сходимости степенного ряда

Здравствуйте! Нужно найти область сходимости степенного ряда:

`sum_(n = 1)^infty ((3^n + (-2)^n)/n)*(x + 1)^n`

@темы: Математический анализ, Ряды

16:03 

Ряд Фурье

Как разложить в ряд Фурье следующие функции:
arccos(cosx)
sgn(sinx)
Помогите,пожалуйста. Я не очень понимаю как

@темы: Математический анализ, Ряды

19:53 

Исследовать интеграл и ряд на сходимость.

IWannaBeTheVeryBest
1) int (ln(2 - (x/2))*ctg(sqrt(pix/2)))/sin(x - 2) dx from 0 to 2

2) sum (ln((n+1)/n))/(ln(n + 2))^(3/2)

Насчет 1 чето вообще нет идей. Ну может как-то по тейлору разложить функции?По Дирихле не разбить, так как нужно, чтобы какая-то из функций имела на нижнем пределе предел 0. Ну при x->0 в данном случае, предел такой функции должен быть равен 0. Таких тут нет. ctg периодичен. Если например попробовать по Абелю, где 1/sin(x - 2) ограничена, то ее предел при x (0; 2] должен быть равен А < inf.
Насчет второго вообще позор. Это вроде же числовой ряд. Там делать нечего должно быть. Я и тут умудрился затупить. Вообще ничего в голову не идет. Пытался подобрать такую функцию, которая в отношении с этой будет давать в пределе какое-то число > 0 и которую можно проверить на сходимость по интегральному Коши скажем. Тоже не знаю что делать. Плизз хелп.

@темы: Ряды, Несобственные интегралы, Математический анализ

17:06 

Ряд Фурье

Надо разложить в РФ функцию: `f(x) = ln(sin x) / (1-2a cos(x)+a^2)`. Как мне кажется, точно нужно избавиться от логарифма в числителе каким-то образом. Например, представить синус через экспоненты. А дальше только как не знаю. Думал еще добавить к `f(x)` какую-нибудь чисто мнимую штуку, например, `g(x) = i ln(e^x) / (1-2a cos(x)+a^2)`, чтобы получить логарифм произведения, а внутри какую-нибудь хорошую штуку. Но это тоже не получилось. Также знаю два фокуса со знаменаетелем для разложения его на множители: 1) замена косинуса через экспоненты, а также `a^2 = a^2 (e^(-ix) e^(ix))` 2) `a^2 = a^2 sin^2 x + a^2 cos^2 x`, далее выделить полной квадрат и разложить по множителям
Но прежде чем этим пользоваться нужно убрать логарифм из числителя. Собственно, не могли бы Вы подсказать, как его оттуда убрать?

@темы: Математический анализ, Ряды

17:44 

Вычислить площадь фигуры, уравнение которой задано в полярной системе

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярной системе координат r=4cos(fi), r=2(r>=2).

@темы: Математический анализ

12:42 

Методы оптимальных решений

Добрый день, не могу понять как дальше решать задачу, помогите пожалуйста:

Задача:
Найти и изобразить в декартовой системе координат области выпуклости и вогнутости функции
f(x,y)=(x-1)^3-6xy+y^3

Для начала я нашел точки перегиба взяв вторые производные по x и по y и приравнял их к нулю.
Получилось что x=1, y=0 точки перегиба.

Как дальше изобразить это в декартовой системе координат?

@темы: Математический анализ

12:46 

Срочно помогите решить неопределенныйй интеграл!!! до 26 мая!!!

`int r*sinx*sqrt(r^2*(cosx)^2+(sinx)^2)\ dx`

@темы: Математический анализ

20:37 

Доказательство сходимости последовательности

Здравствуйте. Не могли бы Вы подсказать, как решить такую задачу: Пусть для любого n из N {{u}{n} (x, y)} - последовательность гармонических функций в D, {{u}{n} (x, y)} сходится в D. Во всей области D: {u}{n} (x, y) <= {u}{n}. Следует ли, что {{u}_{n} (x, y)} сходится равномерно в области D? Спасибо.

@темы: Математический анализ

09:41 

Добрый день! Помогите разобраться с производной)

Найти производные , пользуясь формулами дифферинцирования.
y=4x/(x^3+5x^2-2)^1/2
Решение на фото одно решение решали на заказ а второе я сам попробовал и по моему нашёл ошибку поправте пожалуйста

@темы: Математический анализ

01:00 

Определить сходимость рядов по Коши (1) и найти предел последовательности

IWannaBeTheVeryBest
Всем снова привет)) Кстати с прошедшим всех днем победы)) Не поможете с этими последовательностями
1. x(n) = x(n - 1) + (-1)^n*(5/7)^n
Нужно по критерию Коши определить сходится последовательность или нет.
Все что я знаю, так это надо взять разность посл-тей x(n) и x(n + m), а вернее составить такое неравенство
|x(n) - x(n + m)| < epsilon
Но блин тут еще какой-то x(n - 1) затесался. Очень сбивает. Или может просто как-то предположить, что m = -1, ну и перенести x(n - 1)?
Ну что-то вроде
x(n) - x(n - 1) = x(n) - x(n + m) = (-1)^n*(5/7)^n - (-1)^(n + m)*(5/7)^(n + m) < epsilon
2. Нужно найти предел последовательности (1 - 4 + 5 - 8 + ... + (4n + 1) - (4n + 4))/(2n + 5). Ну n как обычно к бесконечности. Я на самом деле вообще не люблю вот такие задания, где в числителе многоточие... Ну в общем вот такая вещь в числителе. Помню находил как-то материал по этой теме. Так там была чисто арифметическая прогрессия, сумму которой я был в состоянии найти. Тут вообще 0. Да еще и на конце эти 2 странные скобки, которые если раскрыть, то 4n сократится. Хотя может их и не надо раскрывать. Подскажите хоть как такое находить.
Спасибо большое)) Уже несколько раз выручали. Замечательный просто сайт))

@темы: Математический анализ

16:39 

Найти sup, inf и нижний и верхний пределы последовательности

IWannaBeTheVeryBest
Всем снова привет))

`x(n) = ((5n - 7)/(2n + 5)) * cos((2 + (-1)^n)*pi/6)`

В общем я что-то нарешал тут, но не знаю правильно или нет.
1) sup и inf
Косинус принимает значения либо 0, либо sqrt(3)/2. Поэтому при всех четных значениях n последовательность обнуляется
НО, при n = 1 у нас выходит единственное отрицательное значение, так как и n нечетное и числитель дроби будет отрицателен.
Поэтому в этом значении получается inf последовательности, ну как я думаю.
А вот с sup по-сложнее. Выходит, что супремум будет в каком-то n, который нечетный. Какое-то значение n*sqrt(3)/2. Поэтому тут пока не пойму какое значение.
2) Пределы
Как я думаю, можно сравнить данную посл-ть с другой. Например с ((5n - 7)/(2n + 5))*(sqrt(3)/2) которая больше либо равна данной в задании. А предел этой последовательности 5*sqrt(3)/4. Я думаю, что это верхний предел.
А нижний равен 0, так как при больших n он не опускается ниже потому что значение дроби постоянно растет.
Спасибо за внимание)) Жду поправок. Скажите, где я не так сделал что-то. Буду очень рад))

@темы: Математический анализ

18:45 

Решить интеграл

Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решила интеграл integral (6x-7)(x^2-2x+4)^(1/2) dx
Решение:
читать дальше

@темы: Интегралы, Математический анализ

14:27 

Доказать предел по определению

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте еще раз)) Нужно доказать по определению этот предел

`lim_{n to oo} (sqrt(n+1)*arc ctg(n))/(2n+5)=0`
Я вроде как преобразовал arcctg(n) = arctg(1/n) ~ 1/n
Во-первых я не знаю можно ли пользоваться эквивалентными бесконечно малыми при доказательстве по определению
Во-вторых "|f(n)| < epsilon" нам надо привести к виду "n > delta(epsilon)", но я не в курсе, как явно выразить n.
P.S. Возможно я вообще не так что-то говорю. Поэтому жду хотя бы намека на то, как это можно сделать. Спасибо))

@темы: Математический анализ

16:59 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданной уравнением в полярных координатах. r=4cos(fi), r=2(r>=2).
Решила так:
читать дальше
Правильно?

@темы: Интегралы, Математический анализ

18:25 

Доказать методом математической индукции

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте. Хотелось бы узнать, как доказать методом математической индукции это
nx + (n - 1)x^2 + ... + 2x^(n - 1) + x^n = (x^(n + 2) - (n + 1)x^2 + nx)/(x - 1)^2
Я перечитал в интернете много чего, и везде обыденные примеры типа 1 + 4 + 9 + 16 + ... + n^2 = (n(n + 1)(2n + 1))/6 в которых все просто и понятно
Хорошо, пойду по тому же алгоритму.
1) для n = 1
x = (x^3 - 2x + x)/(x - 1)^2 = x
ok, работает
2) Нужно доказать, что это будет работать и для любого k типа
kx + (k - 1)x^2 + ... + 2x^(k - 1) + x^k = (x^(k + 2) - (k + 1)x^2 + kx)/(x - 1)^2
3) Теперь надо добавить k + 1 элемент, для которого будет выполняться (x^(k + 3) - (k + 2)x^2 + (k + 1)x)/(x - 1)^2
Это я правильно понимаю? Если да, то какой же это тогда элемент слева? По сути, если мы добавим какой-то следующий элемент с (k + 1), то будет
(k + 1)x^0 + kx + (k - 1)x^2 + ... + 2x^(k - 1) + x^k + 0x^(k + 1)
Получается, что у нас к ряду элементов добавился только (k + 1)x^0 = k + 1
То есть как я понимаю должно выполяться (x^(k + 3) - (k + 2)x^2 + (k + 1)x)/(x - 1)^2 = ((x^(n + 2) - (n + 1)x^2 + nx)/(x - 1)^2) + (k + 1) или нет?
Просто это не выполняется вроде как.
P.S. Добавил в Математический анализ, так как это у нас по нему было.

@темы: Математический анализ

00:28 

производная

Подскажите где я допускаю ошибку? Задания вычислить предел `lim_(x ->3) (1/(x-3)-1/ln(x-2))`
вот как я решал
`lim_0 (1/t-1/ln(1+t))=lim_0 ((ln(1+t)-t)/(t*ln(1+t)))`
вычислил производную, получил такое выражение: `lim_0 ((1/(1+t)-1)/(ln(1+t)+t/(1+t)))=lim_0 (-t/((1+t)*ln(1+t)+t))=-1`
А должно быть `-1/2`

@темы: Математический анализ, Пределы

16:24 

Поверхностный интеграл 2-го рода

Нужно вычислить `int int _S x^2 dydz+y^2 dzdx + z^2 dxdy` - поверхностный интеграл второго рода по области: `x^2+y^2=a^2, z=0`. Я подумал, что в данном случае этот интеграл эквивалентен двойному, поскольку `z=0` и поверхностный имеет тот же геом. смысл, что и двойной. Но тогда нужно вычислить `int int_S z^2 dxdy`, а `z=0`, значит и интеграл равен нулю. Верны ли мои рассуждения?

@темы: Интегралы, Математический анализ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная