Записи с темой: математический анализ (список заголовков)
10:52 

Прошу помощи с пределом

Здравствуйте!

Прошу помочь с вычислением предела. Стандартные методы, вроде домножения на сопряженное, лопиталь, оценка сверху-снизу, результатов не принесли. Спасибо.

читать дальше

`lim_(n->oo) 2n(root 7 (n^7+7n^6) - sqrt (n^2+2n))`

@темы: Пределы, Математический анализ

15:33 

Привести к интегралу Эйлера

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((sqrt(x)*lnx)dx)/(1 + x)`
Функция B нам тут не подойдет, так как присутствует логарифм в интеграле. Хотя в функции Г тоже не видно логарифма. Поэтому я думал как-то избавиться от него. Но простая казалось бы замена `x = e^t` нам дает пределы интегрирования очень плохие. Если брать по частям интеграл, то логарифм не уйдет. Как минимум, если `u = lnx`, то в другой части он вылезет обязательно. Получается от него не избавиться. Значит надо как-то преобразовать, скажем, функцию Г так, чтобы в ней появился этот логарифм. Но тут проблема в том, что самая похожая на мой интеграл функция, а именно `\Gamma' (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*lnx*e^{-x} dx` содержит экспоненту. Ее просто так, с голого места не получить. Ее надо как то вводить. Может быть путем замены какой-нибудь. Хотя опять же в функциях В и Г нижние пределы интегрирования нули. Из-за них, после замены, будет вылезать предел `-\infty`.
Можно попробовать например продифференцировать функцию B по любому параметру. Там будет вылезать логарифм. Функция Г опять же не вариант, так как от экспоненты никуда не денешься.
Если что ниже укажу
`\B (a, b) = int_{0}^{1} x^(a - 1) * (1 - x)^(b - 1) dx = |x = t/(1 + t)| = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1)dt)/((1 + t)^(a + b))`
`\Gamma (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*e^{-x} dx`

@темы: Математический анализ

14:37 

Вычислить интегралы. 2

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Хотел, чтобы проверили. И у меня еще есть вопрос.
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^2`
Воспользоватся тем, что `int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2) = (pi*e^(-|y|))/2` (интеграл Лапласа)
Решение.
`(dI)/(dy) = -int_{0}^{\infty} (xsin(yx)dx)/(1 + x^2)^2 = |u = sin(xy); dv = -xdx/(1 + x^2)^2| = sin(xy)/(2(1 + x^2))|_{0}^{\infty} - y/2 * int_{0}^{\infty} (cos(xy) dx)/(1 + x^2) = `
`= -y/2 * pi/2 * e^{-|y|} = pi/4 * (-ye^{-|y|})`
Тогда
`I = pi/4 int -ye^{-|y|} dy = pi/4 * e^{-|y|} + C`
Константу можно определить как
`I(0) = int_{0}^{\infty} dx/(1 + x^2)^2 = pi/4`
`I = pi/4 * (e^{-|y|} + 1)`
Я только вот здесь не понимаю, каким образом определяется константа. Мы можем любое значение под интеграл подставлять? Лишь бы могли его вычислить? Не обязательно же константу определять, как `I(0)`? Или нужно, чтобы интеграл превращался в 0? Ну просто в моем случае, я думаю это верно, так как 0 будет гарантировать, что в числителе у меня будет точно 1. А вообще есть какое-то правило, по которому надо определять эту константу? Или без разницы?
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^3`
Здесь было написано тоже решить. Но мне кажется, что он просто сводится к предыдущему дифференцированием по параметру. Верно?

@темы: Математический анализ

22:02 

Вычислить интегралы.

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((x - sinx)dx)/x^3`
Вычитал про них из Фихтенгольца. Хотя может дальше про них что-то еще сказано... Но пока вот что я сделал
1) Разбиваем интеграл на 2 части
`int_{0}^{1} + int_{1}^{\infty}`
2) Подбираем ряд для подынтегральной функции
`sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 1))/((2n - 1)!)`
`x - sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n + 1))/((2n + 1)!)`
`(x - sinx)/x^3 = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!)`
Этот ряд сходится равномерно только при `|x| < 1`. То есть в нашем случае мы имеем право таким образом, применяя ряд, интегрировать только первый интеграл.
Первый интеграл будет равен `sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!*(2n - 1))` если не ошибаюсь.
Что делать со вторым? Там где-то вроде еще была замена `x = 1/z`. Может прокатит? Там как раз пределы интегрирования поменяются. Или так просто ничего не изменится?
И еще один
`int_{0}^{1} ((x^(n - 1) - 1)dx)/lnx`
Тут мне просто не понятно, что за n. Вроде не сказано, что это параметр из какой-то области. Может просто типа константа любая. Однако я что-то не могу здесь применить способ решения через ряды? Какой-то другой здесь используется? Хотя можно попробовать от логарифма в знаменателе избавиться с помощью замены вроде `x = e^t`.
Очень удобные тогда будут в этом случае пределы интегрирования. На них экспоненциальный ряд точно сходится равномерно.

@темы: Математический анализ

18:51 

Исследование на непрерывность интеграла, зависящего от параметра

IWannaBeTheVeryBest
Честно говоря, не нашел такой темы в Фихтенгольце. Там только про равномерную сходимость есть.
`int_{1}^{\infty} lnxdx/((x - y)^2 + 1)`
`Y \in R`
В википедии говорится, что если `f(x, y)` непрерывна в области `\overline{G} = {(x,y): a <= x <= b; c <= y <= d}`, тогда и функция `int_{a}^{b} f(x,y) dx` непрерывна на `[c; d]`
Это замечательно, но только верхний предел у меня бесконечен. Что тут делать вообще плохо понимаю.

@темы: Математический анализ

18:05 

Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра.

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))`
`Y \in (0;1)`
По определению, этот интеграл является предельным для
`int_{0}^{1 - \nu} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))|_{\nu->0}`. Из равномерной сходимости этого интеграла следует равномерная сходимость исходного. А этот интеграл сходится равномерно, если для любого положительного эпсилон, найдется положительная дельта, независящая от игрек, что только лишь `\nu < \delta` сразу выполнено
`|int_{1 - \nu}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))| < \epsilon`
Вот есть идея тупо проинтегрировать, считая игрек константой. Ну перемножить скобки под корнем. Далее выделить полный квадрат. Но мне кажется ответ грязный будет выходить. Может есть какой-то более короткий путь?
Появилась еще идея попробовать игрек заменить на 1 или 0. Ну в общем на какую-нибудь предельную точку области, в которой определен игрек

@темы: Математический анализ

21:33 

Разложение функции в ряд Фурье

IWannaBeTheVeryBest
Такую вот задачу я получил на контрольной.
Разложить в ряд Фурье функцию `y = cos^7x` на промежутке `[-pi, pi]`
По логике, решение должно быть таким
`a_0 = 2/pi * int_{0}^{pi} cos^7x dx`
`a_n = 2/pi * int_{0}^{pi} cos^7x*cosnx dx`
`f(x) = a_0/2 + sum_{n = 1}^{\infty} a_n * cosnx`
Так, потому что функция четная. Но степень высоковатая и как такое интегрировать я что-то не в курсе. Понижать степень и перемножать с косинусом энного угла - не вариант.
Пробую ломать по-другому. Ну насколько я понимаю, надо представить косинус через формулу Эйлера. Выходит так
`cos^7x = ((e^{ix} + e^{-ix})/2)^7`
Ну предположим. То есть я как бы могу раскрыть такую скобку, используя или треугольник Паскаля или по хардовому - через Бином Ньютона, что честно говоря мне делать не очень охота. Поэтому использую треугольник Паскаля. 7 уровень треугольника Паскаля имеет коэффициенты `1,7,21,35,35,21,7,1`
Кроме того, мы знаем, что сможем в каждом множителе преобразовывать степени экспонент. Получается, что степени экспонент будут таковыми `7, 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7`
По итогу имеем
`1/128 * (e^{7ix} + 7e^{5ix} + 21e^{3ix} + 35e^{ix} + 35e^{-ix} + 21e^{-3ix} + 7e^{-5ix} + e^{-7ix})`
Группируем и возвращаем к стандартной записи
`1/64 * (cos(7x) + 7cos(5x) + 21cos(3x) + 35cos(x))`
Это все очень замечательно, но перемножать 4 слагаемых с косинусом nx как-то все равно долго. Есть пути короче? Тем более, насколько я понимаю, при перемножении двух косинусов получается сумма косинусов. При интегрировании косинусов получаются синусы. А синусы по таким пределам будут просто обнуляться. Получается, что разложение будет состоять только из `a_0`, НО невооруженным глазом видно, что по таким пределам косинус в любой степени будет обнуляться. Что-то прямо страшное происходит. Пока что думаю, что надо пойти почитать про самое начало разложения в ряд Фурье. Где был рассказ про базис, по которому раскладывается функция. Ортогональные системы функций, что-ли... Подскажите, что делать

@темы: Математический анализ

20:46 

ряд маклорена, радиус сходимости

sntrnn
возлюблю ближнего как себя, склонна к самоненависти
вечер добрый, пишу первый раз и очень срочно. домашнее задание по матану - разложить функцию на ряд маклорена и найти радиус и интервал сходимости.
убила кучу времени, перерыла ворох сайтов, нашла точно такой же пример в этом сообществе, но решившая его девушка выложила только ответ.
я хочу понять, как объединить в один ряд два, получившихся при разложении на множители, и можно ли, не объединяя их, вычислить радиус/интервал сходимости каждого ряда по отдельности и потом это как-нибудь совместить

читать дальше

@темы: Ряды, Математический анализ

15:37 

Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра.

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} sqrt(x + y)/e^{x} dx; y \in [0; \infty)`
Если действовать строго по определению, то интеграл сходится, если для любого наперед заданного положительного эпсилон, а также для любых игрек из области, найдется `A_0` такое, что выполняется неравенство
`|int_{A}^{\infty} sqrt(x + y)/e^{x} dx| < \epsilon`
при условии
`A > A_0 >= 0`
Написал определение сразу под свой случай.
В Фихтенгольце идет сразу пример, который спокойно интегрируется. Но тут, насколько я вижу, сразу ничего интегрироваться не будет. Если брать замену `x + y = t^2`, то, без учета констант, под интегралом будет что-то вроде `t^2/e^(t^2)`. Дальше можно пытаться по частям конечно, типа u = t и так далее, но в конце все равно вылезает `1/e^(t^2)`
Поэтому я прихожу к выводу, что наверняка надо пользоваться какими-то критериями сходимости интегралов.
По первому критерию достаточной сходимости, нужно найти некоторую функцию зависящую только от икс, которая будет, если я верно выражаюсь, "мажорировать" нашу функцию, для любого игрек. С ходу я не могу подобрать такую функцию. `1/e^x` скорее снизу ограничивает, нежели сверху. Если посмотреть на функцию `sqrt(x)` - аналогично. Можно подобрать y, скажем, 50000, при котором сначала эта функция будет больше, чем `sqrt(x)`.
По второму критерию и третьему критериям - дано `int_{A}^{\infty} f(x,y)*g(x,y)dx`. Но, если не ошибаюсь, моя функция бьется так - `f = sqrt(x + y)` и `g = 1/e^x`
В таком случае ни f, ни интеграл от f не будут вообще каким-то образом ограничены. Расходится сама функция при стремлении `x->\infty` и сам интеграл.
Неужели этот интеграл расходится? Это же все равно надо как-то доказать.

@темы: Математический анализ

14:58 

Исследовать функцию двух переменных на равномерную сходимость

IWannaBeTheVeryBest
`f(x,y) = (xy)/(x^{2} + y^{2}), X \in (1; \infty), y \to 0+`
Я так понимаю, что нужно исследовать функцию по определению. Но как же я это не люблю делать. А точнее сказать - не умею. Я реально хочу научиться пользоваться всеми этими эпсилон и дельта, но в том же Фихтенгольце дано просто определение равномерной сходимости и все. Нет примеров использования этого определения. Я просто не понимаю, как эти эпсилон и дельта использовать. Я даже слабо представляю что они вообще означают. Если я даже примерно, на интуитивном уровне, понимаю определение, то я не в курсе, как его применить на практике. А голая теория - это что-то из области ада.
По признаку Коши, функция двух переменных сходится к своей предельной функции, если
`\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0: \forall y',y'' \in {y}: 0<|y' - y_0|< \delta; 0<|y'' - y_0|< \delta => |f(x, y') - f(x, y'')| < \epsilon`
Единственное, что приходит в голову - подставить пока хотя бы во второе неравенство нашу функцию вместе с этими игреками.
`- \epsilon < (xy')/(x^{2} + y'^{2}) - (xy'')/(x^{2} + y''^{2}) < \epsilon`
Ну и что отсюда я должен получить? Наверняка какую-то оценку, при которой наша функция при любых Х будет ограничена какими-то произвольными положительными числами. Хотя может у меня уже каша в голове.
В первых двух неравенствах y' и y'' просто ограничены дельтой как я понимаю, раз `y_0 = 0`.
Я не пытаюсь сделать так, чтобы за меня решили. Я сам хочу дойти до ответа. Мне пофиг. Хоть весь день угроблю на одно задание.

@темы: Математический анализ

09:13 

Нужна идейная помощь

Вот есть передо мной задание: найти площадь кривой, ограниченной линиями: `x(t) = 1/(t^2+1), y(t) = t^2 -1 ` и `y=0`. Смотрю я на него и думаю: все координатные функции четные по t, значит только єтой кривой никакая площадь не ограничивается. Добавление `y=0` только отрезает половину этой кривой. То ли задание неверное, то ли я чего-то не понимаю. Подскажите, пожалйуста!

@темы: Математический анализ

10:30 

ошибка в производной

читать дальше

ДД!

Помогите найти ошибку в производной, если она есть. Мое решение в приложении (знаменатель роли не играет до последнего действия, поэтому я его не пишу).

Суть проблемы в том, что онлайн-калькуляторы для производной выдают точно такой же ответ, только со знаком минуса (но без подробного решения).
Если же подставлять построчно мое решение (до 6 строки включительно) в онлайн-калькуляторы для упрощения выражений, то результат тоже с минусом. Если дальше 6 строки, то вообще другой ответ.

Я уже всю голову сломал, не могу понять как такое возможно.

Спасибо

@темы: Математический анализ

02:48 

Исследовать на сходимость

`int_{1}^{+infty} (dx)/sqrt(x(x+1)(x+2))`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
`int_{1}^{+infty} (sqrt(x^3)+root(3)(x^2))/(x^3+3x+1)dx`, получилось, что сходится через предельный признак сравнения (`g(x)=1/x^(3/2)`).
А как сделать через признак сравнения?
читать дальше

@темы: Интегралы, Математический анализ

19:36 

Найти производную и дифференциал первого порядка

Пушистохвост
А мы тут того... Этого...
Здравствуйте.
У меня есть уравнение:
x*ln(x)-e^y+y=0
нужно найти производную и дифференциал первого порядка
Вот что у меня получилось:
ln(x)+x/x-y*(e^y)+y'=0
С dy вообще намудрила что-то:
dy(y'-y*(e^y))=ln(x)dx
Ответ, естественно, неправильный.
Подскажите, где не так, и что я недопонимаю?

@темы: Производная, Математический анализ

18:59 

Формула Гаусса-Остроградского

Помогите пожалуйста разобраться с выводом, не понимаю с самого начала.

Пусть `f(x,y,z)` - некоторая функция, а `S` - замкнутая поверхность, ограничивающая объём `V` (рис. 26).

На отрезке `12`, параллельном оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x`. Интегрируя вдоль этого отрезка, получим `int_(12) (partial f)/(partial x)dx=f_2-f_1`,
где `f_1` и `f_2` - значения функции `f` на концах рассматриваемого отрезка.
Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок `12`. Пусть `dsigma` - площадь его поперечного сечения (величина существенно положительная). Умножим предыдущее соотношение на `dsigma`. Так как `dsigmadx` есть элементарный объём `dV`, заштрихованный на рисунке, то в результате получится
`int_(DeltaV) (partial f)/(partial x)dV=(f_2-f_1)dsigma`, где `Delta V` - часть объема `V`, вырезаемого из него поверхностью цилиндра.


Как понимаю `f(x,y,z)` - некоторая функция трёх переменных, областью определения которой являются некоторые точки пространства `RR^3`.
1) Не понимаю предложения На отрезке `12`, параллельной оси `x`, `f` является функцией одного аргумента `x` - это как представить? Как проекцию `f(x,y,z)` на ось `x`?
2) Если рассматривать функцию двух переменных `f(x,y)`, то тут даже не понятно, что будет её проекцией на ось, ведь она (функция) будет некоторой поверхностью в пространстве. Если геометрический смысл частной производной это тангенс угла `(partial z)/(partial x)=tg(alpha)`, то тогда подынтегральное выражение вроде как будет `dz=(partial z)/(partial x)dx`, то есть приращение `dz`, а не `dx`. Как получают кусок `dx`?

3) Как понимать интеграл по отрезку? Как определенный интеграл от `x_1` до `x_2`? А по объёмной области?

@темы: Математический анализ

08:15 

Что означает ввыражение

Здравствуйте, столкнулся с проблемой понятия материала:
Находим вектор u1
u1=(x^(S1) -x*)|| x^( S1)- x*||^(-1)
что означают эти скобки и как найти этот вектор если x^(S1) -это точка и x* это тоже точка.
Что означают ||...||, если это норма то что и как делать?

@темы: Высшая алгебра, Математический анализ

17:17 

Исследование функции

wpoms.
Step by step ...


Дана функция `y = |x^2 - 4*x + 3|`. Исследуйте ее на непрерывность и дифференцируемость в точке с абсциссой `1`. Ее график с осью `Ох` образует замкнутую фигуру. Найдите площадь этой фигуры.



@темы: Исследование функций, Математический анализ, Приложения определенного интеграла

23:11 

Рекуррентное соотношение

Здравствуйте.

Имеется следующее рекуррентное соотношение:
Т(0) = 2;
T(1) = 2;
T(n) = T(n-2) + 2n+7;

Получается следующая последовательность чисел: 2, 2, 13, 15, 28, . . .
Вопрос состоит в следующем:
Найти вид функции f(n), задающей данную последовательность чисел без рекурсии.
Это задание из лабораторки по алгоритмам. Под видом функции f(n) подразумевается что-то типа f(n) = 2*n + 3 или f(n) = n^2-2*n+1. На практике такие задачи решались "угадыванием", а тут что-то прям в упор ничего не вижу. Может опечатка? Заранее прошу прощения, если в сообществе такие задачи не разбираются.

@темы: Математический анализ

23:16 

Функция

Была задача: привести пример последовательности, которая поочередно, то принимает значения, равные пределу, то отдалаются от него.
Я привел такой пример: `a_n=0 `, n- четное, `a_n=1/n`, n - нечетное. После я задумался по поводу непрерывного аналога. Я его нарисовал:
А вот как задать аналитически не знаю, подскажите, пожалуйста.

@темы: Математический анализ

00:28 

Производная

DarthSidious
Тигр, Тигр, жгучий страх, Ты горишь в ночных лесах. Чей бессмертный взор, любя, Создал страшного тебя?
`(delta u)/(delta x) = (delta u)/(delta xi) (delta xi)/(delta x) + (delta u)/(delta eta) (delta eta)/(delta x) = (-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)`
Тогда,
`(delta^2 u)/(delta x^2) = delta(((-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)))/(delta x) = ...`
Далее у меня возник вопрос, как посчитать следующее,
`(-cosx-1) delta(((-cosx-1) (delta u)/(delta xi) + (-cosx+1) (delta u)/(delta eta)))/(delta xi)` ? (Это одно из слагаемых из производной выше)

Или на более просто примере,
читать дальше

@темы: Уравнения мат. физики, Математический анализ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная