• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: математический анализ (список заголовков)
11:56 

Вычислить `lim_(x to 0) ( root(3)(x* tg^2(x) ) - ln(x + sqrt(x^2 + 1)) )/(x - sin(x))`

Как я понимаю, здесь нужен Тейлор

Вот только до какой степени нужно раскладывать? И как разложить корень кубический с тангенсом ... совсем нет идет (

@темы: Пределы, Математический анализ

10:20 

Доказать, что последовательность `x_n=1-1/3+1/5-...+((-1)^n)/(2n-1)` сходится и найти номер, начиная с которого `|x_n - A| < 0,001`

Не уверена, что оценила правильно

и, видимо, номер я тоже не правильно ищу

@темы: Пределы, Математический анализ

09:59 

Вычислить предел

`lim_(x -> 0) ((sin(x)+cos((pi+2*x)/(x^3+2)))/(x^3))`

Мне кажется, что я считаю правильно. Но...в онлайн калькуляторе выдается ответ Пи/4, а у меня Пи/2
Подскажите, пожалуйста, что я упускаю?.....


@темы: Пределы, Математический анализ

21:56 

Перестановка предельных переходов

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Опять доказательство теоремы, в котором хотелось бы разобраться. (Фихтенгольц, том 2, гл. 14, параграф 1, пункт 505)
Пусть существует по отдельности пределы
`lim_{y->y_0} f(x, y) = phi(x)`
`lim_{x->x_0} f(x, y) = psi(y)`
Если стремление `f(x, y)` к `phi(x)` равномерное, то существуют и равны повторные пределы
`lim_{x->x_0} lim_{y->y_0} f(x, y) = lim_{y->y_0} lim_{x->x_0} f(x, y)` (1)
Доказательство начинается с условия равномерного стремления `f(x, y)` к своей предельной функции
`\forall epsilon > 0` `\exists delta > 0:` `|y - y_0|,` `|y' - y_0| < delta => |f(x, y') - f(x, y)| < epsilon`
Переходя к пределу в последнем неравенстве, при `x -> x_0`
(вот здесь первый вопрос. Зачем это делается? Я думаю потому что в левой части равенства (1) `x` при внешнем пределе стремится к `x_0`)
получаем
`|psi(y') - psi(y)| <= epsilon` (почему знак неравенства не строгий?)
Здесь выполнено условие Больцано - Коши для `psi(y)` => `lim_{y -> y_0} psi(y) = A`.
(верно ли я понимаю, что мы, используя внешний предел в левой части равенства (1), получили то, что в правой части этого равенства стоит число?)
Ясно теперь, что `|y - y_0| < delta => ` `|phi(x) - f(x, y)| <= epsilon` и `|psi(y) - A| <= epsilon` (опять почему то не строгие знаки)
Сохраняя выбранное значение `y` найдем такое `delta' > 0:` `|x - x_0| < delta' =>` `|f(x, y) - psi(y)| < epsilon` (это просто использование определение предела?)
Из всех выше указанных неравенств следует, что
`|phi(x) - A| < 3*epsilon`
Ну это более менее понятно. Только, если честно, на какой-то подгон немного похоже. Очень удобная расстановка всех функций в модулях, хотя, безусловно, под модулем эти разности функций можно как угодно писать.
Из последнего неравенства следует
`lim_{x -> x_0} phi(x) = A`
Что и требовалось доказать.
Можете ли сказать, верно ли я все понимаю? Ну хотя бы без знаков неравенства

@темы: Математический анализ

20:57 

Многочлены Лежандра

IWannaBeTheVeryBest
В теме "Ортогональные системы функций" (Фихтенгольц Т3, Гл. 19, параграф 1, п. 679, пример 5) указаны многочлены Лежандра в качестве ортогональной системы функций.
Приведен интеграл
`int_{-1}^{1} P^2(x) dx = 2/(2n + 1)`
`P_0(x) = 1`
`P_n(x) = 1/((2n)!!) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n)`
Решил я разобраться с этим интегралом. Фихтенгольц меня отправляет -> Т2, гл. 9, параграф 4, п. 320, стр. 150.
Исключаем временно константу `1/(((2n)!!)^2)`
Рассмотрим интеграл
`int_{-1}^{1} (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) * (d^n(x^2 - 1)^n)/(dx^n) dx`
Интегрируем по частям
Берем первую дробь за `u` другую за `dv`. Части `uv` при подстановке пределов интегрирования будут обнуляться. При `int_{-1}^{1} vdu` будет вылезать минус.
Проделав эту операцию `n` раз, мы получаем интеграл
`(-1)^n * int_{-1}^{1} (d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) * (x^2 - 1)^n dx = 2 * (2n)! * int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx`
Здесь мне понятно все, кроме одного. Как доказать такое равенство
`(d^(2n)(x^2 - 1)^n)/(dx^(2n)) = (2n)!`
Дальнейшие выкладки мне понятны. Даже дословно разобрал `int_{0}^{1} (1 - x^2)^n dx` при `x = sint`. Тут все ясно. Вот помогите только доказать это равенство. На него ссылок вроде Фихтенгольц не оставил(( Проще конечно на веру принять. Но если разбираться, то уж до конца. А то так просто не интересно))

@темы: Математический анализ

16:53 

Интегралы с параметром

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Не могу понять, как идет доказательство одной из теорем. Конкретно - т.2, гл. 14 "Интегралы, зависящие от параметра", параграф 1, пункт 508 "Интегрирование под знаком интеграла", теорема 4.
"Если функция `f(x, y)` непрерывна (по обеим переменным) в прямоугольнике `[a, b; c, d]`, то имеет место формула
`int_{c}^{d} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} dx int_{c}^{d} f(x, y) dy`"
Доказательство:
"Докажем более общее равенство
`int_{c}^{\eta} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} dx int_{c}^{\eta} f(x, y) dy`, `c <= \eta <= d`
Вычислим производные по `\eta`. Внешний интеграл имеет подинтегральную функцию `f(x, y)` непрерывную по `y`. Поэтому его производная, по переменному верхнему пределу, будет равна подинтегральной функции, вычисленной при `y = \eta`:
`int_{a}^{b} f(x, \eta) dx`... "
Вот тут я не понял, почему так? Если расписывать, то тогда получается
`D_{\eta} int_{c}^{\eta} dy int_{a}^{b} f(x, y) dx = int_{a}^{b} f(x, \eta) dx`
Каким образом этот переход был осуществлен? Ну если чисто интуитивно рассуждать, что я не люблю, если мы находим производную, то один из внешних интегралов, в повторном интеграле, должен исчезать. Кроме того, если этот внешний интеграл был по `y`, то и `\eta` становится параметром вместо `y`. Но это все просто, как говорится, "разговоры на лавочке".

@темы: Математический анализ

23:06 

Иррациональный заяц

Говорят, эту задачу решают еще в школах. Но я услышал её только недавно и так и не понял как её решать. Итак, есть тригонометрический круг . Заяц прыгает по окружности с целочисленной скоростью. Докажите, что он не окажется ни в какой точке более одного раза

@темы: Математический анализ

20:23 

polinapolin
Добрый день,

Помогите, пожалуйста, вычислить такую сумму
`1/2*1+1/2^2*2+1/2^3*3+1/2^4*4+...`

Пыталась записать через предел, посчитать только первую сумму, а остальную устремить к нулю, но к ответу, полученному при помощи матлаб так и не пришла...

Заранее спасибо!

@темы: Математический анализ

18:27 

Лемма Римана. Равномерная сходимость рядов Фурье

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Я почему-то вообще не могу понять доказательство из Фихтенгольца.
"Пусть f(x) определена и абсолютно интегрируема на `[A, B]`. Тогда пределы `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) sin(pt) dt` и `lim_{p->\infty} int_{a}^{b} g(t) cos(pt) dt`
равномерно стремятся к нулю относительно переменных `a` и `b`, которые принимают произвольные значения в промежутке `[A, B]`"
"Доказательство. Достаточно рассмотреть первый из интегралов. Ввиду равномерной непрерывности функций
`int_{A}^{t} |g(t)| dt`
(тут не понял что это за вид интеграла такой. куда-то делся синус, и верхний предел теперь переменный...)
можно разбить по заданному `\epsilon > 0` промежуток `[A, B]` точками
`A = \tau_{0} < \tau_{1} < \dots < \tau_i < \tau_{i + 1} < \dots < \tau_n = B` (...и как это приводит сюда)
на столь мелки части, чтобы было
`int_{\tau_i}^{\tau_{i + 1}}|g(t)| dt < \epsilon`
Для интегралов вида
`int_{\tau_i}^{\tau_j}g(t)*sin(pt) dt` (1)
так как их конечное число можно установить общее `\Delta > 0`, такое, что для `p > \Delta` все они по абсолютной величине уже будут `< \epsilon`.
Но, как легко видеть (но я не вижу), интеграл
`int_a^b g(t) sin(pt) dt`,
каковы бы ни были `a` и `b`, разнится (при любом `p`) меньше, чем на `2\epsilon`, от одного из интегралов вида (1) (объясните, как это видно). Следовательно, при `p > \Delta` он независимо от `a` и `b` по абсолютной величине будет `< 3\epsilon`, что и требовалось доказать."
То есть в общем-то я не понял, зачем изначально такой интеграл рассматривается, без синуса. И все эти манипуляции с 2 и 3 эпсилон. Просто охота не тупо вызубрить и рассказать преподавателю. Охота понять действительно ли это так.
Пока что предположения такие. Рассматривается этот интеграл выше, так как просто тупо фиксируется нижняя граница, а верхняя, как и описано в теореме, может изменяться на `(A, B]`.

@темы: Математический анализ

12:32 

Примечание

pemac
Привет!
В этой книге нет ни одной иллюстрации. Очень трудно для понимания.
Архипов, Садовничий и др.: Лекции по математическому анализу.

От издателя
"Книга является учебником по курсу математического анализа, посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных и соответствует программе для высших учебных заведений, рекомендованной Министерством образования РФ. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова.
В учебнике предложен новый подход к изложению ряда понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.

Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики."

Так и должно быть????

@темы: Математический анализ

23:43 

Объем n-мерного шара

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться с задачей.

Объем n-мерного шара единичного радиуса можно найти по формуле V_n = V_(n-1) * I_n, где I_n = integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]

V_n,2e = V_(n-1)*I_n,2e, где I_n,2e = integral (cos^n x) dx, x=[-e..e] - объем "среднего слоя" n-мерного шара. Слой этот расположен симметрично относительно центра шара. Толщина слоя достаточно мала и равняется 2e (два эпсилон).

Требуется найти предел отношения объема такого слоя к объему всего шара при n -> infinity.

Иначе говоря lim ( [integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]] / [integral (cos^n x) dx, x=[-e..e]] ) as n ->infinity

Интуитивно ясно и достаточно очевидно из графика, что предел равен 1, поскольку при увеличении n график все сильнее будет сжиматься к Oy, но показать этот результат аналитически пока не удалось. Манипуляции с reduction formula к успеху не привели.

Спасибо.

@темы: Математический анализ

19:50 

Исследовать на равномерную сходимость интеграл

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} (sin(ax)dx)/sqrt(x^2 + a^2)`
`a \in (0; +\infty)`
Можно ли оценить его таким образом
`|int_{A}^{\infty} (sin(ax)dx)/sqrt(x^2 + a^2)| <= int_{A}^{\infty} |(sin(ax))/sqrt(x^2 + a^2)| dx <= int_{A}^{\infty} |(sin(ax))/x| dx <= pi/2`
?
Во-первых меня смущает то, что параметр можно к 0 устремить. И как в таком случае будет вести себя интеграл на бесконечности?
И еще, надеюсь не опоздал. Можно ли доказать `lim_{x->0} sinx/x = 1` по определению предела? А то на википедии какой-то геометрический метод. Ну это так, чисто интересно.

@темы: Математический анализ

11:38 

Вторая основная лемма (Дирихле)

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте. В Фихтенгольце, в параграфе "Разложение функций в ряд Фурье", есть пункт "Вторая основная лемма", которая гласит
"Если функция `g(t)` монотонно возрастает, оставаясь ограниченной в промежутке `[0, h]`, где `h>0`, то
`lim_{p->\infty} int_{0}^{h} g(t)*(sin(pt)dt)/t = (pi/2) * g(+0)`"
Что означает запись `g(+0)`? Просто там еще есть обозначения вроде `(g(t + 0) + g(t - 0))/2`.
По моему предположению, первое означает `lim_{t->+0} g(t)`. А во втором речь про бесконечно малую окрестность точки (так как функция в самой точке имеет разрыв или скачок). Правильно?

@темы: Математический анализ

16:35 

Gormogon
Добрый день!
Нужна помощь вот с такой формулировкой задания:
Нужен способ вычислить пределы интегрирования, в которых функция принимает наибольшие значения. Значение этого интеграла - 0.5. Интервал самой функции 0 - 4260.
Т.е. границы верхней выпуклости, площадь которой 0.5.

@темы: Математический анализ

10:52 

Прошу помощи с пределом

Здравствуйте!

Прошу помочь с вычислением предела. Стандартные методы, вроде домножения на сопряженное, лопиталь, оценка сверху-снизу, результатов не принесли. Спасибо.

читать дальше

`lim_(n->oo) 2n(root 7 (n^7+7n^6) - sqrt (n^2+2n))`

@темы: Пределы, Математический анализ

15:33 

Привести к интегралу Эйлера

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((sqrt(x)*lnx)dx)/(1 + x)`
Функция B нам тут не подойдет, так как присутствует логарифм в интеграле. Хотя в функции Г тоже не видно логарифма. Поэтому я думал как-то избавиться от него. Но простая казалось бы замена `x = e^t` нам дает пределы интегрирования очень плохие. Если брать по частям интеграл, то логарифм не уйдет. Как минимум, если `u = lnx`, то в другой части он вылезет обязательно. Получается от него не избавиться. Значит надо как-то преобразовать, скажем, функцию Г так, чтобы в ней появился этот логарифм. Но тут проблема в том, что самая похожая на мой интеграл функция, а именно `\Gamma' (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*lnx*e^{-x} dx` содержит экспоненту. Ее просто так, с голого места не получить. Ее надо как то вводить. Может быть путем замены какой-нибудь. Хотя опять же в функциях В и Г нижние пределы интегрирования нули. Из-за них, после замены, будет вылезать предел `-\infty`.
Можно попробовать например продифференцировать функцию B по любому параметру. Там будет вылезать логарифм. Функция Г опять же не вариант, так как от экспоненты никуда не денешься.
Если что ниже укажу
`\B (a, b) = int_{0}^{1} x^(a - 1) * (1 - x)^(b - 1) dx = |x = t/(1 + t)| = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1)dt)/((1 + t)^(a + b))`
`\Gamma (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*e^{-x} dx`

@темы: Математический анализ

14:37 

Вычислить интегралы. 2

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Хотел, чтобы проверили. И у меня еще есть вопрос.
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^2`
Воспользоватся тем, что `int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2) = (pi*e^(-|y|))/2` (интеграл Лапласа)
Решение.
`(dI)/(dy) = -int_{0}^{\infty} (xsin(yx)dx)/(1 + x^2)^2 = |u = sin(xy); dv = -xdx/(1 + x^2)^2| = sin(xy)/(2(1 + x^2))|_{0}^{\infty} - y/2 * int_{0}^{\infty} (cos(xy) dx)/(1 + x^2) = `
`= -y/2 * pi/2 * e^{-|y|} = pi/4 * (-ye^{-|y|})`
Тогда
`I = pi/4 int -ye^{-|y|} dy = pi/4 * e^{-|y|} + C`
Константу можно определить как
`I(0) = int_{0}^{\infty} dx/(1 + x^2)^2 = pi/4`
`I = pi/4 * (e^{-|y|} + 1)`
Я только вот здесь не понимаю, каким образом определяется константа. Мы можем любое значение под интеграл подставлять? Лишь бы могли его вычислить? Не обязательно же константу определять, как `I(0)`? Или нужно, чтобы интеграл превращался в 0? Ну просто в моем случае, я думаю это верно, так как 0 будет гарантировать, что в числителе у меня будет точно 1. А вообще есть какое-то правило, по которому надо определять эту константу? Или без разницы?
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^3`
Здесь было написано тоже решить. Но мне кажется, что он просто сводится к предыдущему дифференцированием по параметру. Верно?

@темы: Математический анализ

22:02 

Вычислить интегралы.

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((x - sinx)dx)/x^3`
Вычитал про них из Фихтенгольца. Хотя может дальше про них что-то еще сказано... Но пока вот что я сделал
1) Разбиваем интеграл на 2 части
`int_{0}^{1} + int_{1}^{\infty}`
2) Подбираем ряд для подынтегральной функции
`sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 1))/((2n - 1)!)`
`x - sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n + 1))/((2n + 1)!)`
`(x - sinx)/x^3 = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!)`
Этот ряд сходится равномерно только при `|x| < 1`. То есть в нашем случае мы имеем право таким образом, применяя ряд, интегрировать только первый интеграл.
Первый интеграл будет равен `sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!*(2n - 1))` если не ошибаюсь.
Что делать со вторым? Там где-то вроде еще была замена `x = 1/z`. Может прокатит? Там как раз пределы интегрирования поменяются. Или так просто ничего не изменится?
И еще один
`int_{0}^{1} ((x^(n - 1) - 1)dx)/lnx`
Тут мне просто не понятно, что за n. Вроде не сказано, что это параметр из какой-то области. Может просто типа константа любая. Однако я что-то не могу здесь применить способ решения через ряды? Какой-то другой здесь используется? Хотя можно попробовать от логарифма в знаменателе избавиться с помощью замены вроде `x = e^t`.
Очень удобные тогда будут в этом случае пределы интегрирования. На них экспоненциальный ряд точно сходится равномерно.

@темы: Математический анализ

18:51 

Исследование на непрерывность интеграла, зависящего от параметра

IWannaBeTheVeryBest
Честно говоря, не нашел такой темы в Фихтенгольце. Там только про равномерную сходимость есть.
`int_{1}^{\infty} lnxdx/((x - y)^2 + 1)`
`Y \in R`
В википедии говорится, что если `f(x, y)` непрерывна в области `\overline{G} = {(x,y): a <= x <= b; c <= y <= d}`, тогда и функция `int_{a}^{b} f(x,y) dx` непрерывна на `[c; d]`
Это замечательно, но только верхний предел у меня бесконечен. Что тут делать вообще плохо понимаю.

@темы: Математический анализ

18:05 

Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра.

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))`
`Y \in (0;1)`
По определению, этот интеграл является предельным для
`int_{0}^{1 - \nu} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))|_{\nu->0}`. Из равномерной сходимости этого интеграла следует равномерная сходимость исходного. А этот интеграл сходится равномерно, если для любого положительного эпсилон, найдется положительная дельта, независящая от игрек, что только лишь `\nu < \delta` сразу выполнено
`|int_{1 - \nu}^{1} dx/sqrt((1 - x)(1 - yx))| < \epsilon`
Вот есть идея тупо проинтегрировать, считая игрек константой. Ну перемножить скобки под корнем. Далее выделить полный квадрат. Но мне кажется ответ грязный будет выходить. Может есть какой-то более короткий путь?
Появилась еще идея попробовать игрек заменить на 1 или 0. Ну в общем на какую-нибудь предельную точку области, в которой определен игрек

@темы: Математический анализ

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная