Записи с темой: линейная алгебра (список заголовков)
20:29 

Линейная алгебра

blackhawkjkee
Здравствуйте, подскажите пожалуйста, как решать такие задания?

1. Доказать что многочлены
p1(x) = x^2 + x + 1, p2(x) = 2x-1, p3(x) = 2x^2-x образуют базис в пространстве P2.
Разложить многочлен p(x) = 3x^2 + 2x по этому базису


2. В каноническом базисе пространства R^3 оператор ^A действует по правилу ^A(x1, x2, x3) = (x1-x2 + x3, x2-x3, 2x3)..
Найти матрицу оператора ^A в каноническом базисе пространства. Найти ядро и образ оператора ^A. Существует ли обратный оператор? Найти собственне значения и собственные векторы.

Насчет 1 задания, я понял что изначально нужно доказать линейную независимость и у меня получилось следующее:
C1x^2 + C1x + C1 + 2C2x - C2 + 2C3x^2 - C3x = x^2(2C3 + C1) + x(C1 + 2C2 - C3) + (C1 - C2) => C1 = C2 = C3 = 0
А как найти сам базис и впоследствии разложить по нему многочлен?
По второму заданию пока не могу найти похожих примеров и не знаю с чего лучше начать.

Картинка если что прилагается:
читать дальше

@темы: Линейная алгебра

13:16 

Помогите проверить

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решил задачу.
Дана несовместная СЛАУ Ax = b. Описать все псевдорешения. Найти нормальные псевдорешения.
`A = ((1,2,1,1), (1,2,1,-1), (1,2,1,0), (1,2,3,4))` и `b = ((4),(4),(6),(11))`
Решение
Множество всех псевдорешений можно описать в виде `X = x_k + x_p`, где `x_k` - частное псевдорешение(можно взять нормальное), а `x_p` - общее решение СЛАУ: Ax=0
Находим общее решение СЛАУ: Ax=0
`x_p = ((-2*x_2),(x_2),(0),(0))`
Найдем нормальное псевдорешение
Псевдорешением СЛАУ Ax=b называется такой столбец `x^*`, что длина вектора `A*x^* - b`- минимальна, а она минимальна, если `x^*` ортогонален линейной оболочке столбцов матрицы А, то есть вектор `A*x` является ортогональной проекцией вектора b на линейную оболочку столбцов матрицы А.
Ортогонализируем систему векторов А:
`e_1 = (1,1,1,1)^T`
`e_2 = (0,0,0,0,)^T`
`e_3 = (-1/2,-1/2,-1/2,3/2)^T`
`e_4 = (1,-1,0,0,)^T`
Найдем ортогалальную проекцию `(b^*)` вектора b на линейную оболочку столбцов матрицы А:
`b^* = (b,e_1)/(e_1,e_1)*e_1 + (b,e_2)/(e_2,e_2)*e_2 + (b,e_3)/(e_3,e_3)*e_3 + (b,e_4)/(e_4,e_4)*e_4` - сумма проекций b на базисные вектора
`b^* = (37/12, 37/12, 37/12, 3/2)^T`
Решим систему `A*x^* = b^*`:
получаем, общее решение - `(-2*x_2+31/8, x_2, -19/24, 0)^T`
нормальное псевдорешение `x_k = (31/8, 0, -19/24, 0)^T`
все псевдорешения `X = ((31/8),(0),(-19/24),(0)) + t((-2),(1),(0),(0))`

@темы: Системы линейных уравнений, Линейная алгебра

14:43 

доказательство теоремы

lokomot2
Прошу помочь доказать следующую теорему.
Векторы X1, X2,...,Xn порождают линейную оболочку V. Доказать, что, если dim V = n, то данная система векторов - базис для V.

Что я делал. Взял другой базис в V - Y1,Y2,..., Yn. Каждый вектор этого базиса представил как линейную комбинацию данных векторов X1, X2, ..., Xn. Далее взял линейную комбинацию базиса Y1,Y2,..., Yn. Подставил вместо Y1, Y2,...,Yn соответствующие лин. комбинации векторов X1, X2,..., Xn. Полученное я преобразовал в лин. комбинация X1, X2,..., Xn. Далее методом от противного пришел к тому, что X1, X2,..., Xn - линейно независимы. Но, с одной стороны здесь я не использовал тот факт, что dim V = n, а с другой таким же образом, можно вывести, что любая лин. зависимая система будет базисом, что неверно.

@темы: Линейная алгебра

13:56 

Помогите найти псевдорешения системы

Здравствуйте.
Дана такая система:

x1+x2+x3 = -1
2x1+2x2+2x3 = 1

Задание, соответственно, найти нормальное псевдорешение.

Работаю с этими формулами:

Система:
x = A(T)*y
A(T)*A*A(T)*y = A(T)*b

Где x - искомое решение, A - матрица, составленная из коэффициента при иксах, A(T) - транспонированная матрица A, b - столбец свободных членов.

Как решаю: пытаю выразить y из второго уравнения и подставить в первое. Но ничего не выходит.
Пытаюсь перенести некоторые множители в правую часть во втором ур-ии. Не получается. При перемножении A(T)*A получается квадратная матрица, состоящая из пятерок, она обратной матрицы не имеет. Сразу три множителя A(T)*A*A(T) не перенести, матрица получается не квадратная.

Как решаются подобные примеры?

@темы: Линейная алгебра, Высшая алгебра

02:42 

Подпространство

wpoms.
Step by step ...


Известно, что `RR^3 = {(x_1, x_2, x_3) | x_i in RR, i = 1, 2, 3}` есть векторное пространство c операциями
`(x_1, x_2, x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)` и
`lambda (x_1, x_2, x_3) = (lambda x_1, lambda x_2, lambda x_3), `lambda in RR`.
Рассмотрим следующую подмножество `RR^3`:
`L = {(x_1, x_2, x_3) in RR^3 | x_1 + x_2 + x_3 = 0}`.
а) Покажите, что `L` является векторным подпространством `RR^3`.
б) Для `RR^3` определим отношение `bar{x}mathcal{R}bar{y} iff bar{x} - bar{y} in L`, `bar{x}, bar{y} in RR^3`. Докажите, что это отношение эквивалентности.
в) Найти два вектора из `RR^3`, принадлежащие к тому же классу эквивалентности, что и вектор `(-1, 3, 2)`.



@темы: Бинарные отношения, Векторная алгебра, Линейная алгебра

19:38 

Диагонализация матриц

Надо вспомнить диагонализацию матриц.
Ae = T * Au * T^-1
Есть конспект, в котором она есть. Но единственный пример с одинаковыми собственными числами. Которое равно числам на диагонали. В общем, мне ничего не понятно.

Итак. Допустим, есть матрица А 2х2 с эл-тами аij. Уточним: i - номер строки, j - столбца.
1) Нашли характеристический полином.
2) Нашли корни - собственные числа. Различные.
3) ???

Спасибо.

@темы: Линейная алгебра

09:41 

снова я со своими вопросами)

Доказать, что формула `phi(X) = A^TXA` определяет линейное пространство симметрических матриц `X^T = X`. Найти жорданов базис и жорданову форму преобразования.
`A = ((2,-4),(1,-2))`

Нашел `[phi]_e = ((1,1,1,1),(-2,-2,-2,-2),(-2,-2,-2,-2),(4,4,4,4))`. Для этого преобразования нашел характеристический многочлен `lambda^4-lambda^3`, отсюда `lambda_1 = 0, lambda_2 = 1` .. Рассмотрел собственное значение `lambda_1 = 0`. Этот корень кратности 3, `n_1 = n - r = 4 - 1 = 3`, где r - ранг `[phi]_e`; `N_1 = L((1,1,1),(1,0,0),(0,1,-1),(0,0,0))`, `N_1` - ядро `[phi]_e`. Геометрическая кратность s = 3. возводя в квадрат матрицу линейного преобразования - получаем ту же матрицу, их ядра соответственно совпадают `N_1 = N_2` и так далее `N_1 = N_2 = N_3 = ...`. А вот дальше тупик... Что делать?

@темы: Линейные преобразования, Линейная алгебра

19:10 

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с алгеброй. не знаю с чего начать...
Подпространство W четырехмерного евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений. Найти в этом базисе матрицу линейного преобразования, заключающегося в ортогональном проектировании пространства на W. Указать собственные числа и собственные векторы преобразования, описать его ядро и образ.
Система:
`{(x_1+x_2-8*x_3-8*x_4=0), (x_1+x_2-5*x_3-5*x_4=0), (x_1-5*x_2-5*x_3+x_4=0):}`

@темы: Линейная алгебра

17:02 

Приведение квадратичной функции к каноническому виду методом Лагранжа.

Добрый день,
Мне необходимо привести квадратичную форму `(5,13,5,4,0,8)` к каноническому виду методом Лагранжа.
При первом выделении полного квадрата все x_1 сокращаются без проблем, а при попытке избавиться от x_2 возникают 0,2х_2^2, с которым ни туда ни сюда( Подскажите пожалуйста, как выделить все x_2, заранее огромное спасибо
читать дальше

@темы: Линейная алгебра

20:45 

норма

A2kat
Поставил цель, добейся, и точка
Не могу понять, почему определение нормы линейного оператора даётся, как sup по норме `||x||=1`, вот этот момент не могу понять почему именно единица.

@темы: Линейная алгебра

13:18 

Знакоопределённость квадратичных форм

Здравствуйте. Помогите пожалуйста понять, что означает знакоопределённая квадратичная форма?

На примере. Решал по критерию Сильвестра.

Указать, при каких значениях параметра а квадратичная форма знакоопределена:
`-x_1^2-3x_2^2-8x_3^2+2x_1x_2+2ax_2x_3`
Составил матрицу.
(-1 ,1 ,0)
(1, -3, 1а)
(0, 1а, -8)

Первый угловой минор равен -1, т.е. меньше 0.
Второй равен 2, т.е. больше 0.
Третий равен `a^2-16`.

Какое значение нужно подставить, чтобы квадратичная форма была знакоопределена?
Кв.форма отрицательно определена, если поставить значения параметра а от -4 до 4. Но она не положительно определена.
Определение звучит так: Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы называются знакоопределенными.
Т.е. как я понимаю, квадратичная форма должна быть и отрицательно, и положительно определённой. Но как это сделать?

P.S.: Не ругайте за формулы и за матрицу. Не могу установить скрипт.

@темы: Линейная алгебра

12:26 

polinapolin
Добрый день!
Подскажите, пожалуйста, как записать определение выпуклой оболочки на математическом языке?
Заранее спасибо

@темы: Линейная алгебра

23:41 

Объясните доходчиво, что такое образ матрицы?

@темы: Линейная алгебра

18:20 

Матрица в степень при помощи Жордановой формы

Здравствуйте!

При решении следующей задачи возникла проблема: нашел собственное подпространство, и даже 1 дополнительный базис ,а когда пытаюсь найти порожденный этим дополнительным, выходит, что нет решений! Не понимаю, в чем моя ошибка... Помогите, пожалуйста!

Вот условие:

Возвести в 69 степень матрицу

`((-1,0,3,3,-3),(1,-2,-6,-5,6),(-2,2,3,2,-4),(1,-1,-9,-9,9),(-1,1,-5,-6,4))`

Могу лишь предположить, что моя ошибка имеет место быть при составлении У1, но какие тогда строки в этой системе линейно-независимы и почему?

Заранее спасибо!!!


Вот все наработки по данной задаче


читать дальше

@темы: Векторная алгебра, Высшая алгебра, Линейная алгебра, Системы линейных уравнений

19:38 

Найти Базис

Дано векторное пространство `U=CC [x]_2 times CC times CC`
`V={(f,a,b) in U : f'(1)=a+b, f(i)=2b}
Доказать что `V` - подпространство U. Найти базис `V`, и проверить, что выбранная комбинация векторов является базисом, по определению
Вот мое решение:
читать дальше

@темы: Линейная алгебра

18:55 

Собственные вектора

Опять с аналогичным заданием, но скоро зачет и хочется быть уверенным в себе. Задание такое:
Дано векторное пространство `V={f in RR[x]_4 : f(1)=0}` Оператор `Lf=f(2-x)`. Найти собственные числа и собственные вектора без присоединенных.
Вот мое решение:
читать дальше

@темы: Линейная алгебра

13:52 

НОД многочленов над полями F3, F5, R

Требуется найти НОД многочленов f=x^5+3x^4+4x-8, g=x^2-4 над полями F3, F5, R. С помощью алгоритма Евклида получилось (f,g)=r=x+2. Я так понимаю, что над полем R найденный НОД является решение. А что делать с классами вычетов по модулю не знаю.

Отвлекаясь от многочленов. Когда решала систему уравнений над F3 получалось (-1,-5,3). Рассуждала так: так как класс вычетов обозначается неотрицательным вычетом наименьшим по модулю, то вместо -1 и -5 надо взять другое число. Для -1 смотрю на класс вычетов: ...,-7,-4,-1,2,5,.. Выбираю элемент 2. И так далее. Есть ли что-то общее с приведенными мною рассуждениями и многочленами?

@темы: Линейная алгебра, Теория многочленов

11:49 

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, с решением задачи по ГИА

В евклидовом пространстве даны точки A = (1, 7, 2, 1, 0), B = (0, 5, 1, 3, 4), C = (2, 3, -1, 2, 0), D = (11, 12, 1, 0, 7), E = (0, 2, 1, 0, 3).

1) C помощью матрицы Грамма найти `V_(ABCDE)`
Какие вектора нужно взять для построения матрицы Грамма? И что делать если она не квадратная?
2) Найти расстояние от точки A до плоскости BCD
В трех мерном пространстве я знаю как находить, а вот как в пятимерном незнаю...

@темы: Векторная алгебра, Высшая алгебра, Высшая геометрия, Линейная алгебра

20:00 

Квадратичные формы.

Задана квадратичная форма для графа G.
`Q_G = sum_(i = 1)^(n) (sum_(j = 1)^(n) (a_{i,j} * x_i * x_j))`,
где `a_{i,j} = {(2, если i = j), (-1, если вершины соединены ребром), (0, если вершины не соединены ребром):}`;

Как доказать, что квадратичная форма положительно полуопределена?
см. граф G тут

@темы: Линейная алгебра

13:57 

собственные числа и вектора

Дано в.п. `V={f=a_0+a_1*sinx+a_2*cosx+a_3*sin2x+a_4*cos2x :a_i in RR, f(pi/4)=0`
И оператор `L` такой что `Lf=f(pi/2-x)`
Найти собственные числа и вектора без присоединенных. читать дальше

@темы: Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная