Записи с темой: линейная алгебра (список заголовков)
11:57 

Векторные пространства и их линейные преобразования

Здравствуйте!

Доказать, что все квадратные матрицы порядка n с вещественными элементами (или элементами из любого поля P) образуют векторное пространство над полем вещественных чисел (соответственно над полем P), если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.

Заранее спасибо:)

Решебник предоставляет ответ: Базис образуют, например, матрицы Eji(I,j=1,2,...,n), где Eji - матрица, элемент которой в i-й строке и j-м столбце равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Размерность равна n^2.

Является ли этот ответ верным? Нужно ли добавить ещё какое-то описание доказательства?

@темы: Линейная алгебра, Векторная алгебра

23:38 

Обратная матрица

Как доказать, что произведение матрицы на обратную к ней матрицу коммутативно? Или данное утверждение вытекает из определения обратной матрицы и не требует доказательства?

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

03:59 

Онлайн программа с выбором базисного минора

Найти общее решение системы

`((12,14,-15,23,27,5),(16,18,-22,29,37,8),(18,20,-21,32,41,9),(10,12,-16,20,23,4))`
Решил систему, но минор выбрал не левый верхний в результате чего с ответом не сходится, по идее и не должно вроде сходится ведь свободные переменные другие уже, но у двух решений числа по модулю сходятся, поэтому хотелось бы найти онлайн программу где после приведения системы к ступенчатому виду, была возможность выбрать пользователю свободные переменные или базисный минор.

p.s. свободный столбец `B=(5,8,9,4)` вертикальную палку не понял как в матрице прописать, еще элементарные преобразования с линейными походу спутал в теге)
p.p.s. в идеале было бы узнать как в вольфрам альфе проверять
читать дальше

@темы: Линейная алгебра, Линейные преобразования

17:24 

Ad Ka
На завтра нужно срочно решить систему, хоть натолкните, с чего начать. Не могу сообразить.

1/x - 20*y + 15*z = 18
1/y - 15*z + 18*x = 20
1/z - 18*x + 20*y = 15

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Системы НЕлинейных уравнений, Линейная алгебра

12:24 

Набор векторов

Является ли набор векторов `e_1=(3,1,3)`, `e_2=(6,1,6)`, `e_3=(7,2,7)`, `e_4=(8,3,8)` линейно независимым и/или системой образующих в `RR^3`?

С линейной зависимостью здесь ясно. Т.к. пространство трехмерное, а количество векторов равно четырем, то эти векторы линейно зависимы.

А как быть с системой образующих? Ведь система образующих может быть линейно зависима. Каким образом можно показать, что любой вектор пространства линейно выражается (не выражается) через эти векторы?

@темы: Линейная алгебра

11:43 

Записать матрицу линейного оператора

Требуется записать матрицу линейного оператора `L` в базисе `u`, если известно:

`L(u_1)=2u_1+u_2`, `L(u_2)=-u_1+3u_2`, `L(u_3)=u_2+u_3`.

У меня получается матрица

`L=((2,-1,0),(1,3,1),(0,0,1))`.

Мне кажется, что все как-то просто получилось. Я правильно решил?

@темы: Линейная алгебра

13:07 

Сделать рисунок поверхности второго порядка

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. У меня было задание привести квадратичную форму к каноническому виду.
`5x^2 - 2y^2 -2yz - 2z^2 = 0`
К каноническому виду я привел. Вышло что-то вроде
`5x^2 + 2sqrt{5}(1 - sqrt{5})y^2 - 2sqrt{5}(1 + sqrt{5})z^2 = 0`
Это конус, и как его изобразить, даже несмотря на такие кривые значения, я представляю. Можно сделать, собственно, примерно. Просто ввести обозначения и сказать какая полуось какое расстояние имеет. Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`".
Приводил к каноническому виду так:
1. Нашел собственные значения матрицы квадратичной формы
2. Нашел собственные векторы
3. Нормировал их. (в данном случае я забыл это сделать, но это не трудно. все равно вышел диагональный вид)
4. Составил матрицу `B` из найденных собственных векторов (по столбцам)
5. Произвел преобразование `B^T*A*B`
6. Получил в итоге такую каноническую форму.
Что значит "интерпретировать, как поворот системы координат"? Я думал, что надо изобразить поверхность, которая дана вначале и которую я получил в конце. Поверхность будет та же самая, но находится эти поверхности будут в разных точках пространства. Что делать?

================================

В общем-то я привел ее к каноническому виду
`5x^2 - 2y^2 - 2yz - 2z^2 = 0 -> 5x^2 - 3y^2 - z^2 = 0`
Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`"
Что это значит?
Сорри за повтор. Просто тогда я не поставил тему, да и привел не так к каноническому виду.

@темы: Аналитическая геометрия, Линейная алгебра

16:33 

Задача на доказательство

IWannaBeTheVeryBest
В n-мерном евклидовом пространстве дано подпространство `L` и линейно независимые векторы `a_1, \dots, a_p`. Обозначим `a'_1, \dots, a'_p` ортогональные проекции этих векторов на `L`. Доказать, что
`det \Gamma (a_1, \dots, a_p) >= det \Gamma (a'_1, \dots, a'_p)`
Я думал вводить еще вектора `a''_1, \dots, a''_p`, как вектора ортогональных дополнений. Потом указать, что
`\Gamma (a) = \Gamma (a') + \Gamma (a'')`
Обозначил коротко, без перечисления. Просто как обозначения систем векторов.
Потом если взять детерминанты во втором уравнении и подставить в первое, то получится, что
`det \Gamma (a'') >= 0`, что в общем-то верно, c одной стороны, ведь матрица Грама положительно определена, но мне кажется, что это слишком коротко и я тут где-то ошибся. Сомнения мои от того, что матрица Грама не может быть нулевой. Ну вернее иметь детерминант нулевой.
Может как-то надо в другом направлении двигаться?

@темы: Линейная алгебра

11:11 

Ортогональная проекция 2.

IWannaBeTheVeryBest
Задание из типового расчета.
Вещественное евклидово пространство `X` реализовано как `R^5` со стандартным скалярным произведением. Подпространство `L` евклидова пространства `X` задано как линейная оболочка векторов
`a_1 = (-2, 1, -1, -5, -1)^T, a_2 = (1,-1,1,3,0)^T, a_3 = (1,3,-1,1,2)^T.`
Задан также фиксированный вектор `x`
`x = (1,-2,2,4,-1)^T`
Найти ортогональную проекцию `x_L` вектора `x` на подпространство `L` и ортогональную составляющую `x_M` этого же вектора.
Решение получить двумя способами:
Первый способ.
1)Найти ортонормированный базис подпространства `L`;
2)Написать явный вид ортогонального проектора `P_L` на подпространство `L`;
3) Вычислить с помощью `P_L` ортогональную проекцию `x_L`, а затем и `x_M` (как разность `x_M = x - x_L`)
Второй способ.
1) Найти неортонормированный базис подпространства `L` (анализируя структуру `L` как линейной оболочки векторов `a_1, a_2, a_3`);
2) С помощью представления `x = x_L + x_M` (где `x_L` разложено по базису `L`),
3) Составить и решить систему линейных уравнений для определения коэффициентов разложения `x_L` по базису `L`.

Знаю я тут такой способ.
`x_L = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3`
`x = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3 + x_M`
Дальше скалярно умножаю уравнение на вектора оболочки и получаю 3 уравнения в системе. Отсюда вытекает `x_L` ну и `x_M`.
К какому из этих двух он относится? Я вроде как решаю систему уравнений (второй способ), с другой стороны я вычисляю `x_M = x - x_L` - первый способ.

Если по логике, то это второй больше способ. Я не ищу ортонормированный базис.
Кстати я решил таким способом и у меня `x_M` равен нулевому вектору. Такое возможно?
Первый способ.
Ортонормированный базис я найду методом ортогонализации, затем нормирую.
Что там про явный вид ортогонального проектора?
Там в методе ортогонализации есть оператор проекции, вид которого я знаю, но, боюсь, это не то. Как с помощью проектора вычислять ортогональную проекцию? Может ответ банален и прост, но я что-то не помню, чтобы делал это.

@темы: Линейная алгебра

13:58 

Жорданова форма матрицы

IWannaBeTheVeryBest
Такое ощущение у меня, что я вроде как знаю теорию, а вроде и нет...
Найти Жорданову форму матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$
Находим детерминант матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 - \lambda & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 - \lambda & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 - \lambda \end{array}\right)$
И приравниваем его к 0. Находим корни. Уже посчитал. `\lambda = -3` (кр.3)
Дальше подставляем это значение в матрицу и расширяем ее нулями. Ну просто мы же по идее подставляем это значение в характеристическое уравнение.
Как расширять тут матрицу я не знаю. Ну можно пока обойтись. Получится матрица
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Она же
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Находим вектор.
`x_2 = C_2`, `x_3 = C_3` (индексы те же поставил, чтобы не запутаться)
`x_1 = C_2 + 2C_3`
Вектор можно такой построить
`\xi_1 = C_2(1, 1, 0)^T + C_3(2, 0, 1)^T`
Теперь нахожу присоединенный. То есть, как я понимаю, в расширении матрицы теперь должен стоять какой-то из этих двух векторов, предположим первый. Просто второй сомнительно туда ставить.
У матрицы также останется только верхняя строчка, только расширенная единицей. Добавится новый вектор
`\xi_3 = (-4, 0, 0)^T`
Где я ошибся? Из этих же векторов составляется матрица, скажем, S, благодаря которой получается Жорданова форма
`J = S^(-1)AS`

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

19:18 

Переход от базиса к базису.

IWannaBeTheVeryBest
В общем-то я имею представление, как составлять матрицу перехода. Ну вот у меня дан такие базисы.
`g_1 = 1/sqrt(10) * (1, 1, -2sqrt(2))^T`, `g_2 = 1/(2sqrt(2)) * (2, -2, 0)^T`, `g_3 = 1/sqrt(10) * (2, 2, sqrt(2))^T` - ортонормированный.
`a_1 = (1, 1, -2sqrt(2))^T`, `a_2 = (3, -1, -2sqrt(2))^T`, `a_3 = (4, 2, -sqrt(2))^T` - не ортонормированный.
И мне надо выписать матрицу перехода от базиса `a` к базису `g`.
Все довольно просто с этими базисами. Ну было до этого момента.
`a_1 = \alpha_1 * g_1 + \alpha_2 * g_2 + \alpha_3 * g_3`
`a_2 = \alpha_4 * g_1 + \alpha_5 * g_2 + \alpha_6 * g_3`
`a_3 = \alpha_7 * g_1 + \alpha_8 * g_2 + \alpha_9 * g_3`
Найденные "альфы" записываются в столбик и образуется матрица перехода. Только вот не совпадает она с ответом у меня. Решать такие кривые системы не стал. Юзал вольфрам. Есть вероятность того, что я не так мог написать что-то в вольфраме. Но боюсь проблема в том, что я перехожу от не ортонормированного базиса, к ортонормированному.
В общем-то это вторая половина задачи. Найденные вектора базиса `g` сверены по ответам. Найдены путем ортогонализации от базиса `a`.

@темы: Линейная алгебра

11:26 

Ортогональная проекция полинома.

IWannaBeTheVeryBest
Найти ортогональную проекцию полинома `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4` на подпространство полиномов степени не выше 2.
Скалярное произведение определено как `F(p, q) = sum_(i = 0)^(n) a_i * b_i`.
Когда задача была с векторами, то там было все понятно. `x = x' + x''`, где `x'` - ортогональная проекция на `L`
Я просто брал вектора, на которые было натянуто подпространство, и с ними составлял систему уравнений. А вот что тут сделать - не ясно.
Если формула сохраняться должна та же, только для полиномов, то тогда, как я предполагаю, p'(t) - это как раз подпространственный, если так можно выразиться, полином. Именно он будет степени не выше 2. Тогда `35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 = a_1t^2 + a_2t + a_3 + p''(t)`
Дальше, на примере векторов, я расписывал `x'`. То есть, если проводить аналогию, то `a_1t^2 + a_2t + a_3 = 35t^4 + 15t^3 - 15t^2 - 8t + 4 - p''(t)`.
Только вот с векторами-то я это все расписывал как линейную комбинацию. Ну вектор `x'` у меня составлял линейную комбинацию. Я домножал уравнение на данные вектора в линейной оболочке скалярно и находил коэффициенты. Тут такого нет.

@темы: Линейная алгебра

20:39 

Ортогональная проекция.

IWannaBeTheVeryBest
Вот такая задача.
Подпространство L - линейная оболочка векторов `a_1, ... , a_k`. В ортонормированном базисе заданы координатные столбцы этих векторов и координатный столбец `\xi` вектора `x`. Найти координатные столбцы `\xi'` и `\xi''` ортогональных проекций вектора `x` на `L` и `L^\perp`.
`a_1 = (2, 3, 0, 1)^T`, `a_2 = (0, 5, -2, -1)^T`, `\xi = (6, 0, 4, 2)^T`.
Ну и идея моя в том, чтобы составить систему линейных уравнений с двумя уравнениями, чтобы получить два ортогональных вектора из ортогонального подпространства. Ортогональное дополнение короче говоря. Таким образом я получу 2 вектора плюсом. Дальше, по формуле `\xi' = \xi - \xi''` я найду ортогональную проекцию на L. Просто я подразумеваю, что один из этих двух векторов можно взять за `\xi''` (или нет?) и спокойно дорешать. И я так и делал пока, опять же, не посмотрел в ответы. Причем меня смущает тот факт, что при решении такой системы, получается сразу 2 ортогональных вектора из ортогонального подпространства, хотя по теории такой вектор может только однозначно расписываться в сумму двух других.
Была идея получить такой вектор с помощью решения уравнения из линейных комбинаций двух данных векторов и двух тех, которые получаются. Ну типа
`\xi = \alpha * a_1 + \beta * a_2 + \gamma * x_1 + \delta * x_2`, где `x_1` и `x_2` найденные векторы, в результате решения системы.

IWannaBeTheVeryBest, не забывайте указывать @темы.

@темы: Линейная алгебра

15:24 

Ортогональное дополнение.

IWannaBeTheVeryBest
Вот такая вот задачка.
Подпространство L задано как линейная оболочка векторов, имеющие в ортонормированом базисе координаты:
`(3, -15, 9, 1)^T` и `(3, -6, -3, 2)^T`.
Найти: 1)Матрицу системы уравнений, определяющую `L^\perp`
2) Базис в `L^\perp`
Как я думал подойти. Ну вообще может я не то хочу находить, но по учебнику так обозначается ортогональное дополнение вроде как.
Каждый вектор из ортогонального дополнения ортогонален каждому вектору из изначального подпространства, ведь так?
Ну вот я как бы и попытался составить систему уравнений из двух уравнений с четырьмя неизвестными, для того чтобы найти третий вектор, перпендикулярный двум этим. Не вышло. Потом до меня дошло, что надо проверить на ортогональность данные вектора. Оказалось, что они не ортогональны друг другу, значит найти третий вектор, перпендикулярный двум этим не получится. Может найти сначала какой-то вектор, перпендикулярный какому-то из этих двух? Я просто как-то сильно не въезжаю. Или надо сначала найти базис в L...

@темы: Линейные преобразования, Линейная алгебра

11:36 

Скалярное произведение

IWannaBeTheVeryBest
1) В пространстве многочленов степени <= 3 со стандартным скалярным произведением задан треугольник со сторонами t, t^3 и t - t^3.
Найти углы треугольника и длины его сторон.
Не могу понять, как находить скалярное произведение полиномов? Блин, в учебнике рассказано про Евклидовы пространства, как пространства с векторами. Действия с векторами я понял. Тут даны полиномы. Просто ступор.
2) В линейном вещественном пространстве даны два скалярных произведения `(x, y)_1` и `(x, y)_2`. Доказать, что функция `(x, y) = \lambda * (x, y)_1 + \mu * (x, y)_2`также будет являться скалярным произведением для любых положительных `\lambda` и `\mu`.
Здесь не понятно почему именно для положительных сказано. Да и вообще как доказывать? Ну я могу сказать, что сумма скалярных произведений - это скалярное произведение, так как... Ну и там по аксиомам пройтись типа коммутативности (кстати не ясно как дистрибутивность доказывается, когда даны только 2 элемента) и т.д.
Помогите плз.

@темы: Линейная алгебра

13:43 

Центр алгебры над полем.

Здравствуйте! Помогите пожалуйста дорешать задачу для зачёта.. Это последняя задача осталась.. 15 из 16 сдал))

Найдите центр матричной алгебры над полем (любым доступным вам способом).

Решение.

`Z(A)={a in A | aa'=a'a forall a' in A}`
В матричной же алгебре:
Нужно найти такую матрицу А, что АВ=ВА, то есть умножение матриц было коммутативно, а это возможно только в случае, когда А=Е => Е и будет центром матричной алгебры.

Дополнительный вопрос. Какие ещё элементы будут центральными?

Как я понимаю, для жордановых форм центральными будут элементы диагонали `lambda`? Ну то есть `lambdaE`.

@темы: Линейная алгебра

10:05 

Линейная алгебра. Матрица оператора ортогонального проектирования

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, идею решения задачи. Нужно найти матрицу оператора ортогонального проектирования пространства R^3 на плоскость x+y+2z=0 в базисе e1=2i-k, e2=i-j, e3=i+j+2k. Из базиса мы получим матрицу, из уравнения плоскости можем взять нормаль, ииии, что с ними делать?). Так же есть похожая задача с проектированием на прямую. Как там будут задействованы базис и уравнение прямой (y=2x)?

@темы: Линейная алгебра

22:18 

Жордановы формы

Олололя
Кто проверяет, что собачий корм стал еще вкуснее?
Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, найти жорданову форму и канонический базис
Вот такой оператор
3 1 1 1
0 3 1 2
0 0 2 1
0 0 1 2

Я нашла собственные числа и их векторы, но не понимаю, как даже составить форму(

@темы: Линейная алгебра

15:31 

Ортогонализация,ортонормирование базиса

Здравствуйте.Возникла проблема при ортогонализации базиса. Условие звучит так:
Дано трехмерное евклидово пространство L{{x},{y}...}, у которого матрица Грама G(e) в базисе {e}={{e}1, {e}2 ,{e}3} имеет вид
1 1 -2
1 2 -1
-2 -1 5

{e}'={ {e}1' {e}2' {e}3'}-новый базис
{e}1'=-e1+e2+e3
{e}2'=e1+e2+e3
{e}3'=-e1-2e2-e3.
Провести ортогонализацию базиса {e}' . Затем, по полученному ортогональному базису найти ортонормированный базис. Символы в фигурных скобках-векторы.
Помогите с алгоритмом решения пожалуйста,будьте любезны

@темы: Линейная алгебра

23:17 

Оператор дифференцирования

IWannaBeTheVeryBest
Найти собственные функции и значения дифференциального оператора A: H^(n) -> H^(n). H^(n) - пространство многочленов от двух переменных вида
p(x, y) = СУММА аk("k" здесь ниж. индекс)*x^(n-k)*y^k, k от 0 до n. Действие оператора на элемент пространства H^(n) задано:
A(p) = x * (delta(p)/delta(x)) - y * (delta(p)/delta(y)).
Я вообще фигово разбираюсь во всех этих операторах. Хочу нормально разбираться. Помогите плззз...

@темы: Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная