• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: линейная алгебра (список заголовков)
17:11 

Правила записи тензоров

IWannaBeTheVeryBest
Довольно часто натыкался на то, что при переходе от матричной записи к суммам, меняются местами множители. Вот один пример из тензоров
"Линейное преобразование пространства $L$ является тензором типа (1, 1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица, и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой $A' = S^{-1}AS$ :
`(\alpha_{j}^{i})' = \tau_{k}^{i}\sigma_{j}^{l}\alpha_{l}^{k}`"
(тау - компоненты матрицы `S^{-1}`, сигма - компоненты матрицы `S`)
Это схожий с суммами пример, так как, если не ошибаюсь, по одинаковым индексам ведется суммирование. То есть в данном случае по `k` и `l`. Ну `i` и `j` просто тут будут константами.
Меня интересует, почему не
`\tau_{k}^{i}\alpha_{l}^{k}\sigma_{j}^{l}`
? Ведь по-сути порядок матриц именно таков.
Есть какая-то принципиальная разница? Или просто в первом случае что-то вроде "правила хорошего тона". Просто наткнулся где-то в другом учебнике, что, вообще говоря, произведение тензоров не является коммутативным. В таком случае должна быть разница не только в записи.
Если брать другой пример, то, вроде как в скалярном произведении через матрицу Грама тоже такое есть. В матричной записи матрица Грама стоит между вектором-строчкой и вектором столбцом, а в "покомпонентной" записи, через сумму, компоненты матрицы Грама стоят в конце, а компоненты векторов - вначале.
Каким образом можно так свободно переходить от одной записи к другой? Надеюсь вы меня поняли))

@темы: Линейная алгебра

12:24 

Сопряженное линейное пространство.

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Сейчас читаю раздел Линейной алгебры. Про сопряженное пространство. Определение такое
"Линейное пространство $L^*$ всех линейных функций на линейном пространстве `L` называется сопряженным для `L`."
Если я правильно понимаю, линейная функция ставит в соответствие вектору `x` пространства `L` некоторое число `f(x)` из поля `k`. Это получается отображение `f : L -> k`.
Но ведь множество "всех линейных функций" - это же просто множество чисел получается? То есть $L^*$ - просто поле `k`? Ну или скорее так - $L^*$ является подмножеством поля `k`.

@темы: Линейная алгебра

19:53 

Линейная алгебра

Доброго времени суток. Задача:
В евклидовом пространстве даны нормальные A и B (определялись нормальные операторы так: AA*=A*A то есть что оператор и двойственный ему оператор коммутируют). Доказать что если образы A и B ортогональны то и оператор A+B нормальный.
Честно говоря не знаю с чего начать. Не получается доказать утверждение даже в частном случае - в ортонормированном базисе. Может быть вы сможете подсказать?

@темы: Линейная алгебра

20:20 

алгебра

такое вот задание: найдите собственное расширение поля Z(3)
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

17:15 

Линейные пространства

`П(ax^3+bx^2+cx+d)=a^2*x^3+b^2*x^2+c^2*x+d^2`
П-это оператор
1.Нужно проверить это оператор на линейность.
2.И найти матрицу линейного оператора, что бы ее найти нужно найти образы базисных векторов насколько я понял. Подойдет ли базис e_1=x^3, e_2=x^2, e_3=x, e_4=1 или есть более удобный
вот с оператором дифференцирование все понятно, вот этот оператор заменяющий а, в, с, d на a^2, b^2 и тд не совсем ясно
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

17:32 

Тензоры

Всем доброго времени суток. Не подскажете в какой книге можно почитать про тензоры с довольно формальным строгим и глубоким их описанием? Лекции которые у нас читаются не совсем понятные, поэтому хотелось бы параллельно с ними читать что-нибудь другое.

@темы: Линейная алгебра

20:00 

СЛАУ

Помогите, пожалуйста, с заданием: как задать для матрицы коэффициентов системы линейных уравнений столбец свободных членов таким образом, чтобы сразу (наглядно, не решая, без вычислений) были видны корни СЛАУ? Буду очень благодарен за помощь!!!

@темы: Линейная алгебра, Системы линейных уравнений

09:08 

Help

Срочно!!Помогите пожалуйста с решением: даны уравнения сторон треугольника 3х+4у+24=0(АВ); 4х+3у+32=0(ВС); 2х-у-4=0(АС).Составить уравнения высоты,медианы ,биссектрисы проведенных из вершины В и найти их длины.

@темы: Линейная алгебра

07:06 

векторы , базис

не могу понять задание : В базисе векторы a=(1,1,0), b=(1,0,1), c=(0,1,1) являются ? ОБЪЯСНИТЕ ПОЖАЛУЙСТА КАК ЭТО РЕШАТЬ!

@темы: Сообщество, Линейная алгебра

12:11 

Векторные пространства и их линейные преобразования

Здравствуйте!

Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства L пространства Rn, если L задано уравнением X1+x2+...+xn=0.

Заранее спасибо:)

Ответ Базис образуют, например, векторы (1,0,0,...,0,-1), (0,1,0,...,0,-1),...,(0,0,0,...1,-1). Размерность равна n-1.
Является ли верным? Нужно ли добавить ещё какое-то описание?

@темы: Линейная алгебра, Векторная алгебра

11:57 

Векторные пространства и их линейные преобразования

Здравствуйте!

Доказать, что все квадратные матрицы порядка n с вещественными элементами (или элементами из любого поля P) образуют векторное пространство над полем вещественных чисел (соответственно над полем P), если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.

Заранее спасибо:)

Решебник предоставляет ответ: Базис образуют, например, матрицы Eji(I,j=1,2,...,n), где Eji - матрица, элемент которой в i-й строке и j-м столбце равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Размерность равна n^2.

Является ли этот ответ верным? Нужно ли добавить ещё какое-то описание доказательства?

@темы: Линейная алгебра, Векторная алгебра

23:38 

Обратная матрица

Как доказать, что произведение матрицы на обратную к ней матрицу коммутативно? Или данное утверждение вытекает из определения обратной матрицы и не требует доказательства?

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

03:59 

Онлайн программа с выбором базисного минора

Найти общее решение системы

`((12,14,-15,23,27,5),(16,18,-22,29,37,8),(18,20,-21,32,41,9),(10,12,-16,20,23,4))`
Решил систему, но минор выбрал не левый верхний в результате чего с ответом не сходится, по идее и не должно вроде сходится ведь свободные переменные другие уже, но у двух решений числа по модулю сходятся, поэтому хотелось бы найти онлайн программу где после приведения системы к ступенчатому виду, была возможность выбрать пользователю свободные переменные или базисный минор.

p.s. свободный столбец `B=(5,8,9,4)` вертикальную палку не понял как в матрице прописать, еще элементарные преобразования с линейными походу спутал в теге)
p.p.s. в идеале было бы узнать как в вольфрам альфе проверять
читать дальше

@темы: Линейная алгебра, Линейные преобразования

17:24 

Адель Камински
На завтра нужно срочно решить систему, хоть натолкните, с чего начать. Не могу сообразить.

1/x - 20*y + 15*z = 18
1/y - 15*z + 18*x = 20
1/z - 18*x + 20*y = 15

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Системы НЕлинейных уравнений, Линейная алгебра

12:24 

Набор векторов

Является ли набор векторов `e_1=(3,1,3)`, `e_2=(6,1,6)`, `e_3=(7,2,7)`, `e_4=(8,3,8)` линейно независимым и/или системой образующих в `RR^3`?

С линейной зависимостью здесь ясно. Т.к. пространство трехмерное, а количество векторов равно четырем, то эти векторы линейно зависимы.

А как быть с системой образующих? Ведь система образующих может быть линейно зависима. Каким образом можно показать, что любой вектор пространства линейно выражается (не выражается) через эти векторы?

@темы: Линейная алгебра

11:43 

Записать матрицу линейного оператора

Требуется записать матрицу линейного оператора `L` в базисе `u`, если известно:

`L(u_1)=2u_1+u_2`, `L(u_2)=-u_1+3u_2`, `L(u_3)=u_2+u_3`.

У меня получается матрица

`L=((2,-1,0),(1,3,1),(0,0,1))`.

Мне кажется, что все как-то просто получилось. Я правильно решил?

@темы: Линейная алгебра

13:07 

Сделать рисунок поверхности второго порядка

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. У меня было задание привести квадратичную форму к каноническому виду.
`5x^2 - 2y^2 -2yz - 2z^2 = 0`
К каноническому виду я привел. Вышло что-то вроде
`5x^2 + 2sqrt{5}(1 - sqrt{5})y^2 - 2sqrt{5}(1 + sqrt{5})z^2 = 0`
Это конус, и как его изобразить, даже несмотря на такие кривые значения, я представляю. Можно сделать, собственно, примерно. Просто ввести обозначения и сказать какая полуось какое расстояние имеет. Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`".
Приводил к каноническому виду так:
1. Нашел собственные значения матрицы квадратичной формы
2. Нашел собственные векторы
3. Нормировал их. (в данном случае я забыл это сделать, но это не трудно. все равно вышел диагональный вид)
4. Составил матрицу `B` из найденных собственных векторов (по столбцам)
5. Произвел преобразование `B^T*A*B`
6. Получил в итоге такую каноническую форму.
Что значит "интерпретировать, как поворот системы координат"? Я думал, что надо изобразить поверхность, которая дана вначале и которую я получил в конце. Поверхность будет та же самая, но находится эти поверхности будут в разных точках пространства. Что делать?

================================

В общем-то я привел ее к каноническому виду
`5x^2 - 2y^2 - 2yz - 2z^2 = 0 -> 5x^2 - 3y^2 - z^2 = 0`
Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`"
Что это значит?
Сорри за повтор. Просто тогда я не поставил тему, да и привел не так к каноническому виду.

@темы: Аналитическая геометрия, Линейная алгебра

16:33 

Задача на доказательство

IWannaBeTheVeryBest
В n-мерном евклидовом пространстве дано подпространство `L` и линейно независимые векторы `a_1, \dots, a_p`. Обозначим `a'_1, \dots, a'_p` ортогональные проекции этих векторов на `L`. Доказать, что
`det \Gamma (a_1, \dots, a_p) >= det \Gamma (a'_1, \dots, a'_p)`
Я думал вводить еще вектора `a''_1, \dots, a''_p`, как вектора ортогональных дополнений. Потом указать, что
`\Gamma (a) = \Gamma (a') + \Gamma (a'')`
Обозначил коротко, без перечисления. Просто как обозначения систем векторов.
Потом если взять детерминанты во втором уравнении и подставить в первое, то получится, что
`det \Gamma (a'') >= 0`, что в общем-то верно, c одной стороны, ведь матрица Грама положительно определена, но мне кажется, что это слишком коротко и я тут где-то ошибся. Сомнения мои от того, что матрица Грама не может быть нулевой. Ну вернее иметь детерминант нулевой.
Может как-то надо в другом направлении двигаться?

@темы: Линейная алгебра

11:11 

Ортогональная проекция 2.

IWannaBeTheVeryBest
Задание из типового расчета.
Вещественное евклидово пространство `X` реализовано как `R^5` со стандартным скалярным произведением. Подпространство `L` евклидова пространства `X` задано как линейная оболочка векторов
`a_1 = (-2, 1, -1, -5, -1)^T, a_2 = (1,-1,1,3,0)^T, a_3 = (1,3,-1,1,2)^T.`
Задан также фиксированный вектор `x`
`x = (1,-2,2,4,-1)^T`
Найти ортогональную проекцию `x_L` вектора `x` на подпространство `L` и ортогональную составляющую `x_M` этого же вектора.
Решение получить двумя способами:
Первый способ.
1)Найти ортонормированный базис подпространства `L`;
2)Написать явный вид ортогонального проектора `P_L` на подпространство `L`;
3) Вычислить с помощью `P_L` ортогональную проекцию `x_L`, а затем и `x_M` (как разность `x_M = x - x_L`)
Второй способ.
1) Найти неортонормированный базис подпространства `L` (анализируя структуру `L` как линейной оболочки векторов `a_1, a_2, a_3`);
2) С помощью представления `x = x_L + x_M` (где `x_L` разложено по базису `L`),
3) Составить и решить систему линейных уравнений для определения коэффициентов разложения `x_L` по базису `L`.

Знаю я тут такой способ.
`x_L = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3`
`x = \alpha_1*a_1 + \alpha_2*a_2 + \alpha_3*a_3 + x_M`
Дальше скалярно умножаю уравнение на вектора оболочки и получаю 3 уравнения в системе. Отсюда вытекает `x_L` ну и `x_M`.
К какому из этих двух он относится? Я вроде как решаю систему уравнений (второй способ), с другой стороны я вычисляю `x_M = x - x_L` - первый способ.

Если по логике, то это второй больше способ. Я не ищу ортонормированный базис.
Кстати я решил таким способом и у меня `x_M` равен нулевому вектору. Такое возможно?
Первый способ.
Ортонормированный базис я найду методом ортогонализации, затем нормирую.
Что там про явный вид ортогонального проектора?
Там в методе ортогонализации есть оператор проекции, вид которого я знаю, но, боюсь, это не то. Как с помощью проектора вычислять ортогональную проекцию? Может ответ банален и прост, но я что-то не помню, чтобы делал это.

@темы: Линейная алгебра

13:58 

Жорданова форма матрицы

IWannaBeTheVeryBest
Такое ощущение у меня, что я вроде как знаю теорию, а вроде и нет...
Найти Жорданову форму матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$
Находим детерминант матрицы
$A = \left(\begin{array}{c c c}-13/4 - \lambda & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & -11/4 - \lambda & 1/2 \\ 0 & 0 & -3 - \lambda \end{array}\right)$
И приравниваем его к 0. Находим корни. Уже посчитал. `\lambda = -3` (кр.3)
Дальше подставляем это значение в матрицу и расширяем ее нулями. Ну просто мы же по идее подставляем это значение в характеристическое уравнение.
Как расширять тут матрицу я не знаю. Ну можно пока обойтись. Получится матрица
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ -1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Она же
$A = \left(\begin{array}{c c c}-1/4 & 1/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Находим вектор.
`x_2 = C_2`, `x_3 = C_3` (индексы те же поставил, чтобы не запутаться)
`x_1 = C_2 + 2C_3`
Вектор можно такой построить
`\xi_1 = C_2(1, 1, 0)^T + C_3(2, 0, 1)^T`
Теперь нахожу присоединенный. То есть, как я понимаю, в расширении матрицы теперь должен стоять какой-то из этих двух векторов, предположим первый. Просто второй сомнительно туда ставить.
У матрицы также останется только верхняя строчка, только расширенная единицей. Добавится новый вектор
`\xi_3 = (-4, 0, 0)^T`
Где я ошибся? Из этих же векторов составляется матрица, скажем, S, благодаря которой получается Жорданова форма
`J = S^(-1)AS`

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная