Ознакомьтесь с нашей политикой обработки персональных данных
  • ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: линейная алгебра (список заголовков)
00:44 

Тензоры

IWannaBeTheVeryBest
Начал читать про тензоры.
Скажите, как определять типа тензора? Вообще в книжке типы тензоров определяются через преобразование тензора при переходе от базиса к базису.
Ну вот просто передо мной находится вектор. `(1, 2, 3, 4, 5)^T`. Это тензор типа `(1, 0)`. А почему не `(0, 1)`?
Вот передо мной пусть будет квадратная матрица. Это же может быть тензор и типа `(2, 0)` и `(1, 1)` и `(0, 2)`. Или определить тип тензора нельзя, если передо мной просто "нарисована" какая-нибудь матрица и ничего не оговорено?
Хорошо. Вот сказано, что линейное преобразование - это тензор типа `(1, 1)`. Если линейное преобразование меняется при переходе от базиса к базису так
`A' = S^(-1) * A * S`, то само преобразование выглядит так `A : L -> L`. А если у нас линейное отображение `A : L -> V`? Матрица такого отображения будет меняться так
`A' = P^{-1} * A * S`. Тогда тип тензора у этого отображения какой?
Ладно. Билинейная форма - тензор типа `(0, 2)`. Переход от базиса к базису матрица билинейной формы меняется как
`B' = S^T * B * S`. То есть получается так. Пусть `S` - матрица перехода от базиса `e` к базису `e'`. Если переход от базиса к базису представляется матрицей `S^T` и `S`, то это по-любому тензор типа `(0, 2)`. Но если при переходе от базиса к базису присутствует матрица `S^{-1}` и `S`, то это тензор типа `(1, 1)`. Это получается, что по количеству транспонированных матриц и по количеству обратных матриц, к матрице перехода при переходе от базиса к базису, я могу определять тип тензора? И каким образом тогда будет выглядеть тензор типа `(2, 0)`? Какой у него будет переход от базиса к базису?

@темы: Линейная алгебра

18:22 

Сопряженное линейное пространство.

IWannaBeTheVeryBest
Я уже как-то спрашивал про сопряженное линейное пространство. Определение такое
"Множество всех линейных функций `L*` на линейном пространстве `L` называется сопряженным пространству `L`."
Линейная функция - это отображение `f: L -> k`, где `k` - поле чисел, над которым определено `L`.
Так вот. Как и при линейном отображении в линейное пространство, тут также можно найти матрицу этого отображения. Действие этого отображения на вектор x из L можно представить следующим образом
`f(x) = \chi_{1} * \xi^{1} + \dots + \chi_{n} * \xi^{n}`.
В матричном виде можно записать так
`f(x) = (\chi_{1} \dots \chi_{n}) * (\xi^{1} \dots \xi^{n})^T = X*\Xi`. В данном случае вектор-строка `X` будет состоять из компонент - действие функции `f` на базисных векторах.
Вот меня интересует. Что конкретно находится в сопряженном пространстве? Вот, ну например, в пространстве `L` у векторов компоненты - числа. А что является компонентами функций? По-сути, каждой функции соответствует определенная строка `X`. Может компонентами каждой функции в сопряженном пространстве будет являться как раз эта строка?

@темы: Линейная алгебра

00:14 

Книжки по тензорам

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Можете посоветовать какие-нибудь книжки по тензорам почитать? А то я как ни начну читать про тензоры, так бросаю, так как либо очень сложно написано, либо я просто не могу сосредоточиться. И как назло нет русскоязычных видосов на ютубе по тензорам.

@темы: Линейная алгебра

17:11 

Правила записи тензоров

IWannaBeTheVeryBest
Довольно часто натыкался на то, что при переходе от матричной записи к суммам, меняются местами множители. Вот один пример из тензоров
"Линейное преобразование пространства $L$ является тензором типа (1, 1). В самом деле, если задано линейное преобразование, то каждому базису соответствует матрица, и матрицы, соответствующие двум базисам, связаны формулой $A' = S^{-1}AS$ :
`(\alpha_{j}^{i})' = \tau_{k}^{i}\sigma_{j}^{l}\alpha_{l}^{k}`"
(тау - компоненты матрицы `S^{-1}`, сигма - компоненты матрицы `S`)
Это схожий с суммами пример, так как, если не ошибаюсь, по одинаковым индексам ведется суммирование. То есть в данном случае по `k` и `l`. Ну `i` и `j` просто тут будут константами.
Меня интересует, почему не
`\tau_{k}^{i}\alpha_{l}^{k}\sigma_{j}^{l}`
? Ведь по-сути порядок матриц именно таков.
Есть какая-то принципиальная разница? Или просто в первом случае что-то вроде "правила хорошего тона". Просто наткнулся где-то в другом учебнике, что, вообще говоря, произведение тензоров не является коммутативным. В таком случае должна быть разница не только в записи.
Если брать другой пример, то, вроде как в скалярном произведении через матрицу Грама тоже такое есть. В матричной записи матрица Грама стоит между вектором-строчкой и вектором столбцом, а в "покомпонентной" записи, через сумму, компоненты матрицы Грама стоят в конце, а компоненты векторов - вначале.
Каким образом можно так свободно переходить от одной записи к другой? Надеюсь вы меня поняли))

@темы: Линейная алгебра

12:24 

Сопряженное линейное пространство.

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Сейчас читаю раздел Линейной алгебры. Про сопряженное пространство. Определение такое
"Линейное пространство $L^*$ всех линейных функций на линейном пространстве `L` называется сопряженным для `L`."
Если я правильно понимаю, линейная функция ставит в соответствие вектору `x` пространства `L` некоторое число `f(x)` из поля `k`. Это получается отображение `f : L -> k`.
Но ведь множество "всех линейных функций" - это же просто множество чисел получается? То есть $L^*$ - просто поле `k`? Ну или скорее так - $L^*$ является подмножеством поля `k`.

@темы: Линейная алгебра

19:53 

Линейная алгебра

Доброго времени суток. Задача:
В евклидовом пространстве даны нормальные A и B (определялись нормальные операторы так: AA*=A*A то есть что оператор и двойственный ему оператор коммутируют). Доказать что если образы A и B ортогональны то и оператор A+B нормальный.
Честно говоря не знаю с чего начать. Не получается доказать утверждение даже в частном случае - в ортонормированном базисе. Может быть вы сможете подсказать?

@темы: Линейная алгебра

20:20 

алгебра

такое вот задание: найдите собственное расширение поля Z(3)
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

17:15 

Линейные пространства

`П(ax^3+bx^2+cx+d)=a^2*x^3+b^2*x^2+c^2*x+d^2`
П-это оператор
1.Нужно проверить это оператор на линейность.
2.И найти матрицу линейного оператора, что бы ее найти нужно найти образы базисных векторов насколько я понял. Подойдет ли базис e_1=x^3, e_2=x^2, e_3=x, e_4=1 или есть более удобный
вот с оператором дифференцирование все понятно, вот этот оператор заменяющий а, в, с, d на a^2, b^2 и тд не совсем ясно
помогите пожалуйста

@темы: Линейная алгебра

17:32 

Тензоры

Всем доброго времени суток. Не подскажете в какой книге можно почитать про тензоры с довольно формальным строгим и глубоким их описанием? Лекции которые у нас читаются не совсем понятные, поэтому хотелось бы параллельно с ними читать что-нибудь другое.

@темы: Линейная алгебра

20:00 

СЛАУ

Помогите, пожалуйста, с заданием: как задать для матрицы коэффициентов системы линейных уравнений столбец свободных членов таким образом, чтобы сразу (наглядно, не решая, без вычислений) были видны корни СЛАУ? Буду очень благодарен за помощь!!!

@темы: Линейная алгебра, Системы линейных уравнений

09:08 

Help

Срочно!!Помогите пожалуйста с решением: даны уравнения сторон треугольника 3х+4у+24=0(АВ); 4х+3у+32=0(ВС); 2х-у-4=0(АС).Составить уравнения высоты,медианы ,биссектрисы проведенных из вершины В и найти их длины.

@темы: Линейная алгебра

07:06 

векторы , базис

не могу понять задание : В базисе векторы a=(1,1,0), b=(1,0,1), c=(0,1,1) являются ? ОБЪЯСНИТЕ ПОЖАЛУЙСТА КАК ЭТО РЕШАТЬ!

@темы: Сообщество, Линейная алгебра

12:11 

Векторные пространства и их линейные преобразования

Здравствуйте!

Найти какой-нибудь базис и размерность линейного подпространства L пространства Rn, если L задано уравнением X1+x2+...+xn=0.

Заранее спасибо:)

Ответ Базис образуют, например, векторы (1,0,0,...,0,-1), (0,1,0,...,0,-1),...,(0,0,0,...1,-1). Размерность равна n-1.
Является ли верным? Нужно ли добавить ещё какое-то описание?

@темы: Линейная алгебра, Векторная алгебра

11:57 

Векторные пространства и их линейные преобразования

Здравствуйте!

Доказать, что все квадратные матрицы порядка n с вещественными элементами (или элементами из любого поля P) образуют векторное пространство над полем вещественных чисел (соответственно над полем P), если за операции взять сложение матриц и умножение матрицы на число. Найти базис и размерность этого пространства.

Заранее спасибо:)

Решебник предоставляет ответ: Базис образуют, например, матрицы Eji(I,j=1,2,...,n), где Eji - матрица, элемент которой в i-й строке и j-м столбце равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Размерность равна n^2.

Является ли этот ответ верным? Нужно ли добавить ещё какое-то описание доказательства?

@темы: Линейная алгебра, Векторная алгебра

23:38 

Обратная матрица

Как доказать, что произведение матрицы на обратную к ней матрицу коммутативно? Или данное утверждение вытекает из определения обратной матрицы и не требует доказательства?

@темы: Матрицы, Линейная алгебра

03:59 

Онлайн программа с выбором базисного минора

Найти общее решение системы

`((12,14,-15,23,27,5),(16,18,-22,29,37,8),(18,20,-21,32,41,9),(10,12,-16,20,23,4))`
Решил систему, но минор выбрал не левый верхний в результате чего с ответом не сходится, по идее и не должно вроде сходится ведь свободные переменные другие уже, но у двух решений числа по модулю сходятся, поэтому хотелось бы найти онлайн программу где после приведения системы к ступенчатому виду, была возможность выбрать пользователю свободные переменные или базисный минор.

p.s. свободный столбец `B=(5,8,9,4)` вертикальную палку не понял как в матрице прописать, еще элементарные преобразования с линейными походу спутал в теге)
p.p.s. в идеале было бы узнать как в вольфрам альфе проверять
читать дальше

@темы: Линейная алгебра, Линейные преобразования

17:24 

Адель Камински
На завтра нужно срочно решить систему, хоть натолкните, с чего начать. Не могу сообразить.

1/x - 20*y + 15*z = 18
1/y - 15*z + 18*x = 20
1/z - 18*x + 20*y = 15

@темы: Школьный курс алгебры и матанализа, Системы НЕлинейных уравнений, Линейная алгебра

12:24 

Набор векторов

Является ли набор векторов `e_1=(3,1,3)`, `e_2=(6,1,6)`, `e_3=(7,2,7)`, `e_4=(8,3,8)` линейно независимым и/или системой образующих в `RR^3`?

С линейной зависимостью здесь ясно. Т.к. пространство трехмерное, а количество векторов равно четырем, то эти векторы линейно зависимы.

А как быть с системой образующих? Ведь система образующих может быть линейно зависима. Каким образом можно показать, что любой вектор пространства линейно выражается (не выражается) через эти векторы?

@темы: Линейная алгебра

11:43 

Записать матрицу линейного оператора

Требуется записать матрицу линейного оператора `L` в базисе `u`, если известно:

`L(u_1)=2u_1+u_2`, `L(u_2)=-u_1+3u_2`, `L(u_3)=u_2+u_3`.

У меня получается матрица

`L=((2,-1,0),(1,3,1),(0,0,1))`.

Мне кажется, что все как-то просто получилось. Я правильно решил?

@темы: Линейная алгебра

13:07 

Сделать рисунок поверхности второго порядка

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. У меня было задание привести квадратичную форму к каноническому виду.
`5x^2 - 2y^2 -2yz - 2z^2 = 0`
К каноническому виду я привел. Вышло что-то вроде
`5x^2 + 2sqrt{5}(1 - sqrt{5})y^2 - 2sqrt{5}(1 + sqrt{5})z^2 = 0`
Это конус, и как его изобразить, даже несмотря на такие кривые значения, я представляю. Можно сделать, собственно, примерно. Просто ввести обозначения и сказать какая полуось какое расстояние имеет. Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`".
Приводил к каноническому виду так:
1. Нашел собственные значения матрицы квадратичной формы
2. Нашел собственные векторы
3. Нормировал их. (в данном случае я забыл это сделать, но это не трудно. все равно вышел диагональный вид)
4. Составил матрицу `B` из найденных собственных векторов (по столбцам)
5. Произвел преобразование `B^T*A*B`
6. Получил в итоге такую каноническую форму.
Что значит "интерпретировать, как поворот системы координат"? Я думал, что надо изобразить поверхность, которая дана вначале и которую я получил в конце. Поверхность будет та же самая, но находится эти поверхности будут в разных точках пространства. Что делать?

================================

В общем-то я привел ее к каноническому виду
`5x^2 - 2y^2 - 2yz - 2z^2 = 0 -> 5x^2 - 3y^2 - z^2 = 0`
Но в задании сказано: "Сделать рисунок, интерпретируя ортогональное преобразование координат как некоторый поворот системы координат в `R^3`"
Что это значит?
Сорри за повтор. Просто тогда я не поставил тему, да и привел не так к каноническому виду.

@темы: Аналитическая геометрия, Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная