Записи с темой: теория чисел (список заголовков)
21:30 

Количество чисел

wpoms.
Step by step ...


Какое наибольшее количество положительных целых чисел меньших или равных 2016 можно выбрать так, чтобы никакие два из них не отличались на 1, 2 или 6?



@темы: Теория чисел

19:35 

трансцендентные

вейко
что толку горевать?
всякое ли транс число можно разложить ряд?
выразить путем бесконечного числа операций над алгебраическими?(вроде можно начать в бесконечную цепную дробь раскладывать?)

@темы: Теория чисел

14:10 

Народ, единитесь!

wpoms.
Step by step ...


Пусть $k$ --- фиксированное положительное целое число. Альберто и Беральдо играют в следующую игру:
дано начальное число $N_0$ и начинает Альберто, они по очереди выполняют такую операцию: заменяют число $n$ на число $m$ так, что $m < n$ и $m$ и $n$ отличаются, в их представлении по модулю 2, точно в $\ell$ последовательных цифрах для некоторого $\ell$ такого, что $1 \leq \ell \leq k$.
Тот, кто не может сделать ход, проигрывает.
Назовем неотрицательное число $t$ победителем, если игрок получивший число $t$ имеет выигрышную стратегию, он может выбрать следующее число так, чтобы обеспечить свою победу вне зависимости от действий другого игрока. Иначе назовем число неудачником.
Докажите, что для каждого положительного целого числа $N$, общее количество неотрицательных чисел-неудачников, меньших чем $2^N$, равно $2^{N-\lfloor \log_2(min\{N,k\}) \rfloor}$.
Пояснение: запись вида $\lfloor x \rfloor$ означает наибольшее целое число меньшее или равное $x.$ Например, $\lfloor 3{,}14 \rfloor = 3$, $\lfloor 2 \rfloor = 2$, $\lfloor -4{,}6 \rfloor = -5$.



@темы: Теория чисел

17:30 

Две точки

wpoms.
Step by step ...


Найдите наименьшее `n` такое, что любое множество из `n` точек координатной плоскости с целочисленными координатами содержит две точки такие, что квадрат расстояния между ними кратен 2016.



@темы: Планиметрия, Теория чисел

19:28 

Простые делители

wpoms.
Step by step ...


Пусть $a_0 = a > 1$ --- целое число и, для $n \geq 0,$ определим $a_{n+1} = 2^{a_n}-1.$ Покажите, что множество простых делителей членов последовательности $a_n$ бесконечно.



@темы: Теория чисел

21:54 

Переходим к среднему звену школы

wpoms.
Step by step ...


a) Рассмотрим все числа образованные четырьмя цифрами 1, 2, 3 и 4. Образуем выражение
`S_4 = 4321 - 4312 + 4231 - 4213 + ... + 1243 - 1234,`
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and - чередуются. Вычислите `S_4.`
b) Аналогично, рассмотрим все числа образованные девятью различными цифрами, за исключением ноля, и образуем выражение
`S_9 = 987654321 - 987654312 + 987654231 - ... - 123456789,`
в котором числа слева направо идут от большего к меньшему и знаки + and - чередуются. Вычислите `S_9.`



@темы: Теория чисел

20:10 

Что наша жизнь - Игра

wpoms.
Step by step ...


Дано целое число `N`, `N >= 2.`
В игре OBM участвуют два игрока `A` и `B`, игру начинает игрок `A`, получающий число `N.` Он должен выбрать новое целое число `n,` взаимно простое с `N` и большее или равное `N` и меньшее, чем `N.` Это число передается игроку `B.` Игрок `B`, получив число `n` от своего оппонента, выбирает новое число `m,` взаимно простое с `n`, большее или равное половине `n` и меньшее `n.` Затем он передает выбранное число `m` игроку `A` и процесс повторяется до тех пор, пока одному из игрок остается только выбрать число 1. Этот игрок будет победителем!
Например, для `N = 9,` игрок `A` может выбрать число 5 (заметьте, что он мог выбрать одно из чисел 5, 7 или 8); игрок `B` может затем выбрать число `3;` `A` вынужден выбрать число 2 (это его единственная возможность), и затем `B` выбирает 1 и выигрывает.
Определите, какой игрок имеет выигрышную стратегию, если
a) `N = 7;`
b) `N = 2016.`
Примечание. Два числа называют взаимно простыми, если у них нет общего делителя большего 1. Например, 9 и 6 не являются взаимно простыми числами, так как 3 --- их общий делитель.



@темы: Теория чисел

22:47 

Группы чисел

wpoms.
Step by step ...


Целые числа от 1 до 99 разделены на $n$ групп так, что:
I - каждое число принадлежит только одной группе;
II- каждая группа содержит не менее двух чисел;
III- если два числа принадлежат одной группе, то их сумма не делится на 3.

a) Объясните, почему количество групп не может быть равно 50.
b) Чему равно наименьшее возможное количество групп?



@темы: Теория чисел

09:20 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Докажите: для любого натурального числа `n` существует `n`-значное натуральное число, все цифры десятичной записи которого равны только 1 или 2 такое, что оно делится на `2^n`.
Будет ли утверждение верно для систем счисления с основанием `4` или `6`?



@темы: Теория чисел

22:01 

Получение любого числа

wpoms.
Step by step ...


С натуральным числом, записанным в десятичной системе, можно выполнять такие операции:
(1) приписать 4 в конце числа.
(2) приписать 0 в конце числа.
(3) разделить число на 2, если оно чётное.
Докажите, что, начав с числа 4 и выполняя последовательность операций (1), (2), (3), можно получить любое натуральное число.



@темы: Теория чисел

21:42 

За круглым столом. Не рыцари.

wpoms.
Step by step ...


За круглым столом сидят `n` человек. Количество тех, справа от которых сидит кто-то того же пола, равно количеству тех, для кого это не выполняется. Докажите, что `n` делится на 4.



@темы: Теория чисел

23:47 

Корень из числа

wpoms.
Step by step ...


Даны `n` цифр, записанные по порядку `a_1a_2...a_n` Существует ли натуральное число такое, что в десятичной записи квадратного корня из этого числа первые `n` цифр после запятой совпадают с `a_1a_2...a_n`? Обоснуйте ответ.



@темы: Теория чисел

01:26 

Не квадрат

wpoms.
Step by step ...


В десятичной записи 1000-значного натурального числа все цифры, кроме, может быть, одной, равны 5. Покажите, что это число не является квадратом натурального числа.



@темы: Теория чисел

06:40 

Два красавца

wpoms.
Step by step ...


Назовем натуральное число красивым, если сумма всех его натуральных делителей (включая 1 и само число) нечётна. Найдите наименьшее натуральное число $k$ такое, что среди любых $k$ красивых чисел можно выбрать два различных числа, произведение которых будет квадратом натурального числа.



@темы: Теория чисел

18:27 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Докажите, что из любых 17 натуральных чисел можно выбрать 9 чисел так, чтобы их сумма делилась на 9.



@темы: Теория чисел

09:10 

Двадцать одно

wpoms.
Step by step ...


Есть 40 карточек, на двух из них написано число 1, еще на двух --- число 2, \ldots, еще на двух --- число 20. Какое наибольшее возможное количество комплектов возможно одновременно создать из этих 40 карточек так, чтобы в каждом комплекте было три карточки и сумма всех чисел комплекта была равна 21?



@темы: Теория чисел

16:03 

Не простое

wpoms.
Step by step ...


Дано простое число, десятичная запись которого содержит по меньшей мере 4 различные цифры. Докажите, что его цифры можно переставить в другом порядке так, чтобы полученное число не было простым.



@темы: Теория чисел

14:57 

Шифр

wpoms.
Step by step ...


Все цифры в десятичной записи натурального числа заменили на буквы, одинаковые цифры заменили одинаковыми буквами, разные --- разными и получили `GANGA.` Известно, что при делении `GANGA` на 7 в остатке получается `A,` при делении `GANGA` на 11 в остатке получается `N,` при делении `GANGA` на 13 в остатке получается `G,` кроме того, `G > A > N.` Каким может быть оригинальное число?



@темы: Теория чисел

19:30 

Сумма

wpoms.
Step by step ...


Сумма 63 различных натуральных чисел равна 2017. Найдите эти числа и обоснуйте, что других нет!



@темы: Теория чисел

06:44 

Наибольшее значение

wpoms.
Step by step ...


Пусть `a_1, \ a_2, \ ldots, \ a_{2017}` - неотрицательные действительные числа такие, что `a_1 + a_2 + ldots + a_{2017} = 1`. Какое наибольшее значение может принимать выражение
`( a_1 + \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} + \ldots + \frac{a_{2017}}{2017} )^2 * (a_1 + 2*a_2 + 3*a_3 + \ldots + 2017*a_{2017})`?





@темы: Теория чисел, Рациональные уравнения (неравенства)

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная