Записи с темой: линейная алгебра (список заголовков)
23:08 

Задача про оператор

Линейный оператор `A`: `RR^n to RR^n` таков, что `A^3` - проектор.
1) Какие собственные значения может иметь `A`?
2) Верно ли, что `A` будет иметь диагнональную матрицу в каком-либо базисе `RR^n`

Моя попытка решения п.1
По определению, проектора: `A^6 = A^3`. В то же время по определению союственного числа: `A x = lambda x` => `A^6 x = lambda^6 x` и `A^3 x= lambda^3 x => lambda^6-lambda^3 = 0 Leftrightarrow lambda = 0, lambda = 1`, кратность корней 3
Моя попытка решения п.2
Здесь, к сожалению, не все лямбды различны, значит возможна ситуация, когда собсвтенных векторов может быть недостаточно и собственный базис не будет существовать. Тут как-то надо найти собсветнные вектора?

@темы: Линейная алгебра

15:30 

Линейная зависимость/независимость определителей и СЧ

Добрый день. Могли бы проверить задачу (пункты 2, 3), а также сказать, верно ли моё утверждение в п. 1 ?
1) Верно ли, что если у нас есть матрица `X` и известны её СЧ `lambda_1..lambda_n`, то для матрицы `X-m*E` собственные числа `lambda_1-m, ..., lambda_n-m`?
И следует это из представления матрицы в собственном базисе?
Дальше сама задача:
2) Задача: доказать, что функции `det(X), det(X-E), det(X+E)` на пространстве комплексных матриц 3x3 линейно независимы.
Я сначала говорю, что если мы представим матрицу `X` в собственном базисе, то её определитель не поменяется, поэтому `det(X) = lambda_1 * lambda_2 * lambda_3`
Значит `det(X-E) = (lambda_1-1) * (lambda_2-1) * (lambda_3-1)` Аналогично `det(X+E)= (lambda_1+1) * (lambda_2+1) * (lambda_3+1)`
Дальше я просто составляю систему: `c_1 * det(X) + c_2 * det(X+E) + c_3 * det(X-E)=0`, решаю систему, получаю нетривиальное решение => доказано
3) Докажите, что найдется такое натруальное `m`, что `det(X-mE), det(X-(m-1)E)...det(X+mE)` линейно зависимы (матрица X - по-прежнему 3x3). Тут я просто взял m=4, выписал как и в пункте a) и получил, что система имеет только решение `c_i=0`

@темы: Линейная алгебра

10:56 

Кольца и поля

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Просто хотел уточнить кое-что по данным структурам. Слышал довольно краткое их описание - в кольцах можно складывать, вычитать и умножать, а в полях можно еще и делить. То есть получается, что относительно умножения есть обратный элемент в поле. Правильно ли я понимаю, что поле - это абелева группа по сложению и умножению, а кольцо - это абелева группа по сложению и полугруппа по умножению? Если есть единичный элемент по умножению, то это - моноид по умножению. Ну и еще иногда оно бывает коммутативным.

@темы: Линейная алгебра

00:44 

Собственные числа

Могли бы подтвердить/опровергнуть. Если надо найти собственные числа и собственные вектора для матрицы `A^(-2)`, то верно же я понимаю, что это будут `lambda^(-2)`? а собственные вектора останутся теми же? Это следует из разложения матрицы A в собственном базисе?

@темы: Линейная алгебра

21:31 

Вычислить определитель, элементы которого заданы условием

Вычислите определитель порядка n, элементы которого заданы условием aij = min(i,j).
Я вообще не понял задание и даже то, как выглядит эта матрица. Помогите, пожалуйста, начать!

@темы: Линейная алгебра

16:56 

Про ранг оператора

Пусть есть линейный оператор `A`, который переводит пространство `V` в `W`. Верно ли, что матрица оператора `A` имеет ранг, равный `dim(W)` ?
На всякий случай уточню откуда в у меня взялся вопрос. Если есть пространство многочленов не выше 3-ей степени, то оператор дифференциирования имеет матрицу с рангом `2`, отсюда у меня возникла такая гипотеза

@темы: Линейная алгебра

17:59 

Привести к жордановой форме матрицу

IWannaBeTheVeryBest
Так что-то решил повторить и туплю в примере
`A = ((1,0,1),(0,1,-1),(-1,-1,1))`
Дальше, насколько я помню как нас учили, надо найти собственные числа этой матрицы, потом собственные вектора, к ним присоединенные найти, если нужно, из них составить матрицу S и найти жорданову форму матрицы по формуле
`J_A = S^{-1} * A * S`
Окей. (лямбду на t заменю, ибо так проще писать)
`|A - t E| = |(1-t,0,1),(0,1-t,-1),(-1,-1,1-t)| = (1 - t)^3`
`t = 1` (кр. 3)
Дальше видимо я ошибаюсь где-то.
`((0,0,1,|0),(0,0,-1,|0),(-1,-1,0,|0))`
Здесь первый собственный вектор будет
`\vec{x_1} = C * ((-1),(1),(0))`
Потом, насколько я помню, в расширенную матрицу справа вставляются элементы данного собственного вектора. Ну как бы получается, что у нас получился один вектор, а собственных значений 3. Поэтому надо искать присоединенный вектор. То есть
`((0,0,1,|-1),(0,0,-1,|1),(-1,-1,0,|0))`
Тут вектор будет
`\vec{x_2} = C_1 * ((-1),(1),(0)) + C_2 * ((0),(0),(1))`
И наконец еще один вектор. Как я понимаю, ищется так
`((0,0,1,|0),(0,0,-1,|0),(-1,-1,0,|1))`
Получился
`\vec{x_3} = C_3 * ((-1),(1),(0)) + ((-1),(0),(0))`
И получается, что `S = ((-1, 0, -1),(1, 0, 0),(0, 1, 0))`
Где я неверно посчитал что-то? Просто дальше с перемножением у меня косяк получается. Там над диагональным элементом где-то -1 вылезает.

@темы: Линейная алгебра

14:01 

Линейный оператор

Является ли линейным оператором, действующим на пространстве
тригонометрических многочленов вида a + b cos x + c sin x, отображение
I : a + b cos x + c sin x -> интеграл от 0 до пи
sin(x + y)(a + b cos y + c sin y)dy?

@темы: Линейная алгебра

18:02 

Линейная алгебра

Добрый день! Вот моё задание.

Дано линейное простраство L, которую образуют полиномы с помощью реальных коэффицентов, степень которых не превышает 2.
Базис e пространства L: e1=1;e2=x;e3=x^2, а также отображение А в этом пространстве: A(P(x))=P(x+3).
Доказать, что А – линейный оператор. Написать линейного оператора А матрицу в базисе е: Ае.

----
Не могли бы подкнуть идею, как док-ть, что А - линейный оператор?

@темы: Линейная алгебра

12:37 

Линейная алгебра

шикарно
Закрой мне руками глаза, если будет восход, кидай свои камни ко мне в огород.
Имеется задание:
В пространстве R^4 определена гиперповерхность, которой принадлежат только те векторы, координаты которых в стандартном базисе (x1; x2; x3; x4) удовлетворяют уравнению x1^2 + x2^2 - x3^2 - x4^2 = 1.
Найти уравнение этой гиперповерхности в базисе f: f1 = (1;1;1;1), f2 = (1;1;-1;-1), f3 = (1;-1;1-;1), f4 = (1;-1;-1;1) в координатах (y1; y2; y3; y4).

Не имею понятия с чего начать решать и как подступиться к заданию.
Может быть подскажете ход действий и посооветуете что-то?

@темы: Линейная алгебра

19:45 

Найти матрицу оператора

Добрый день!
Задача: найти матрицу оператора поворота трехмерного пространства на угол `2pi/3` вокруг прямой, заданной в прямоугольной системе координат уравнениями `x_1=x_2=x_3`, в базисе из единичных векторов осей координат.

Мое решение:
Перейдем к новому базису `f_1=((1),(0),(-1)), f_2=((1),(-2),(1)), f_3=((1),(1),(1))`.
Матрица оператора в новом базисе :
`A = 1/2*((-sqrt(3),-1,0),(1,-sqrt(3),0),(0,0,2))`
Матрица перехода:
`T = ((1,1,1),(0,-2,1),(-1,1,1))`.
Обратная ей:
`T^(-1) = -1/6*((-3,0,3),(-1,2,-1),(-2,-2,-2))
Тогда матрица оператора в стандартном базисе равна `TAT^(-1)`.
Ответ указан вообще другой :
`((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))` и `((0,1,0),(0,0,1),(1,0,0))`.
Как я понимаю в ответе 2 матрицы, потому что не сказано в каком направлении происходит вращение(по часовой или против часовой).
Я же рассматривал только случай вращения против часовой, но матрица в любом случае не получается такой как в ответе.
Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так?

@темы: Аналитическая геометрия, Векторная алгебра, Матрицы, Линейные преобразования, Линейная алгебра

20:43 

Найти матричную экспоненту.

IWannaBeTheVeryBest
`A=((4, -2, 2), (-5, 7, -5), (-6, 6, -4))`
Найти `f(A) = 2^A`
Вот в данном случае неприятно то, что 2 стоит в основании. Хотя при разложении в ряд Тейлора там будут лишь добавляться множители `ln2` от дифференцирования.
Вообще, я знаю, как получать матричную экспоненту для Жордановой клетки. Но в данном случае у нас матрица приводится к диагональной. То есть
`2^J = ((2^3, 0, 0), (0, 2^2, 0), (0, 0, 2^2))`
Потом, если применять логику алгоритма с экспонентой, а не с двойкой, должно быть так
`2^A = S * 2^J * S^(-1)`
где S - матрица, составленная из собственных и присоединенных векторов матрицы А
Хотел бы вообще узнать, как действовать в общем случае. Скажем если Жорданова форма матрицы
`J = ((a_1, 1, 0, 0),(0, a_1, 0, 0),(0, 0, a_2, 0), (0, 0, 0, a_3))`
Для каждой из этих клеток я знаю как построить экспоненту. Но тут 3 клетки. Как их объединить? Так?
`e^(Jt) = ((e^(a_1), te^(a_1), 0, 0),(0, e^(a_1), 0, 0),(0, 0, e^(a_2), 0), (0, 0, 0, e^(a_3)))`
Ну t можно принять за 1 и будет то что надо.

@темы: Линейная алгебра

13:06 

Подпространства

[Kaneki Ken]
Не жалей меня, будь жесток. Моя кровь - томатный сок. ©
Добрый день.
Есть задача по линейной алгебре:

Является ли множество L={(x_1,x_2,x_3)} векторов заданного вида линейным подпространством в R^3? Если да, то найти базис и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпространства L до базиса всего пространства R^3. Выписать матрицу перехода от канонического базиса пространства R^3 к построенному базису.
а) (a-b, 2a+b, 2a-3b)
б) (a-3b, 2+b, 2a-3b)

Собственно, проблема в том, что я понятия не имею, с чего начать. Да, я уже погуглил и не нашёл ничего подобного. Особенно интересует первый пункт, является ли линейным подпространством.

@темы: Векторная алгебра, Линейная алгебра

10:31 

Жорданов базис и минимальный полином

IWannaBeTheVeryBest
`A = ((4, -2, 2),(-5, 7, -5),(-6,6,-4))`
`B(a) = A - a*E`
`det B = (3 - a)(2 - a)^2`
Определим минимальный полином. Он будет в виде
`\mu = (3 - a)(2 - a)^l`
`1<= l <= 2` (ну короче или 1 или 2 :))
`rang B(2)^i = r_i`
`r_0 = 3; r_1 = 1 = r_2`
Определим порядки Жордановых клеток для этого собственного числа по формуле
`m_i = r_{i-1} - 2r_{i} + r_{i + 1}`, где `i` - порядок Жордановой клетки, `m_i` - число таких клеток
`m_1 = 3 - 2 + 1 = 2`
`m_2 = 1 - 2 + 1 = 0`
Так как `l` совпадает с максимальным порядком Жордановой клетки, то `l = 1`.
Жорданов базис.
1) Находим степень `q`, начиная с которой ранг матрицы перестает падать. `q = 1`
2) Рассмотрим базис ядра `N_1`, решая `B*X = 0`
`B = ((2, -2, 2), (-5, 5, -5), (-6, 6, -6))`
Размерность `N_1 = 2`. Базис `(1, 0, -1)^T`; `(0, 1, 1)^T`
А дальше предполагаю, что надо просто найти присоединенный вектор. Он и будет третьим в Жордановом базисе. Верно?

@темы: Линейная алгебра

19:02 

Алгебра 10 класс

Подскажите, пожалуйста, как из уравнения 16x(x+1)(x+2)(x+3)=9 получить (2x+3)^2(4x^2+12x-1)=0?

@темы: Линейная алгебра

10:46 

Матрица сопряженного отображения

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, найти ошибку в решении. Мой ответ не сходится с ответом в задачнике :upset:
P. S. Забыла написать, что пространства евклидовы.

Пусть `A` - линейное отображение пространства `R^3` в `R^2`, заданное в базисах (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1) и (1,2), (0,1) матрицей `((1,0,1),(2,1,3))`. Найти матрицу сопряженного отображения в тех же базисах.


@темы: Линейная алгебра, Матрицы

17:48 

Матрица проектирования

IWannaBeTheVeryBest
Задача как бы обобщает предыдущую. Ну например такая.
Определить матрицу проектирования пространства `E_3` на подпространство `L: -20x=15y=12z` параллельно пространству `M:2x+3y-z=0`
Верно ли будет выбрать базис на плоскости `f_1, f_2` плюс выбрать вектор на прямой `f_3`. Таким образом получить другой базис.
Дальше смотрим, куда переходят наши базисные вектора, составляя линейные комбинации из векторов `f` (короче говоря выражаем вектора `e` через базис `f`). Получаем коэффициенты и пишем в матрицу.
Правда не уверен что матрица получится квадратной, ведь у нас вектора базиса `f` линейно зависимы. Или это нормально, что матрица прямоугольной получится?

@темы: Линейная алгебра

19:50 

Вычислить матрицу ортогонального проектирования

IWannaBeTheVeryBest
Вычислить матрицу ортогонального проектирования пространства `E_3` на подпространство `L`, если `L` - плоскость, натянутая на вектора
`x = (-1,1,-1)`
`y = (1,-3,2)`
Верно ли я понимаю, что задачу можно переформулировать как поиск матрицы оператора проектирования `P:E_3 -> L`?
Ну вот по сути, когда я находил раньше находил матрицы операторов, я смотрел на действие оператора на базисных векторах, смотрел какими они становятся в `L`, и записывал их в матрицу. Ну в общем просто записывал образы базисных векторов в матрицу и все.
Только тут плоскость какая-то неудобная. В ней лежат все вектора вида `ax + by`. То есть каждый из базисных векторов должен стать представимым в виде данной линейной комбинации. Но я не могу понять, куда конкретно они будут переходить? Вот если бы это была просто какая-то плоскость типа `z = 0`, то я бы взял трехмерную единичную матрицу и занулил соответствующую единицу.
Может надо как-то развернуть сначала систему координат как-то, чтобы получилась данная плоскость, потом подействовать на нее обычной матрицей проектирования и повернуть обратно? Могу найти ортогональный вектор двум данным `z`, затем перевести `x, y, z` в `e_1, e_2, e_3` соответственно, получить матрицу этого преобразования, воспользоваться стандартной матрицей проектора и воспользоваться обратным преобразованием. Правда заморочек много. Может проще можно?

@темы: Линейная алгебра

23:07 

Внешнее произведение q-форм

IWannaBeTheVeryBest
Вообще это произведение определяется как тензорное произведение этих форм, альтернированных по всем индексам и домноженное на `(p + q)!/(p!*q!)`
Задание такое. Найти внешнее произведение форм, заданных строками
`C_1 = (1,1,2,2)`
`C_2 = (1,1,1,3)`
`C_3 = (1,1,1,2)`
Ну, насколько я понял, каждая из этих строк является тензором типа `(0,1)`. Если я найду тензорное произведение двух из них, то я автоматом получу тензор типа `(0,2)`
Альтернирование и домножение на константу не меняет типа тензора. Соответственно, когда я домножу полученный тензор на третью внешнюю форму тензорно, то это будет уже тензор типа `(0,3)`. Однако результатом перемножения этих форм является тоже строчка `1xx4`. Это как?

@темы: Линейная алгебра

16:39 

Альтернирование тензора

IWannaBeTheVeryBest
Как производится альтернирование `a_{[k l]}^{[ij]}` тензора `a_{k l}^{ij}`? Я правильно понимаю, что сначала нужно получить тензор `a_{k l}^{[ij]}`, а потом уже его альтернировать по нижним индексам и получить `a_{[k l]}^{[ij]}`? Просто я решил таким образом поступить, а ответ не сошелся.
Тензор `a_{kl}^{ij} = `

Извините, что картинкой. Просто такую "байду" формулой изобразить будет сложно, я думаю.
Решаю так. Сначала альтернирую по верхним индексам. Там где совпадают `ij`, будет 0. Не 0 будут во всех слоях на побочных диагоналях.
Ну логика простая
1) `i = k = l = 1; j = 2`
`a_{11}^{[12]} = 1/2*(a_{11}^{12} - a_{11}^{21}) = 3`
По логике
`a_{11}^{[21]} = -3`
Дальше просто повторяю эти действия для каждого слоя. То есть просто вычитаю элементы на побочной диагонали, ставлю это число на место `12` и то же число с обратным знаком на место `21`.
2) `a_{22}^{[12]} = -a_{22}^{[21]} = 1/2*(a_{22}^{12} - a_{22}^{21}) = -4`
Таким образом я определил значения слоев `a_{11}^{ij}` и `a_{22}^{ij}`
В итоге у меня получился тензор, где
`a_{12}^{ij} = a_{11}^{ij}`
`a_{21}^{ij} = a_{22}^{ij}`
Назовем его тензором `b_{kl}^{ij}`
Вот у меня скорее всего где-то здесь уже ошибка. Дело в том, что
`b_{[12]}^{12} = -b_{[21]}^{12} = 1/2*(b_{12}^{12} - b_{21}^{12}) = 1/2*(3 - (-4)) = 7/2`
Получилось у меня `+-7/2` на побочной диагонали двух слоев. А в ответах там `+-1/2` на тех же местах, и немного с другим расположением знаков.

@темы: Линейная алгебра

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная