• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
09:47 

wpoms
Step by step ...


Как показано на рисунке, центры равных соприкасающихся кругов лежат на диагоналях ромба, центр одного из них совпадает с точкой пересечения диагоналей ромба, а крайние круги касаются сторон ромба. Определите количество кругов, если известны диаметр круга, сумма и произведение длин диагоналей ромба.





@темы: Планиметрия

09:46 

wpoms
Step by step ...


На рисунке изображены четыре равные большие пересекающиеся окружности, одна средняя окружность, касающаяся больших окружностей, и восемь равных маленьких окружностей. Окружности касаются своих соседей. Найдите длину диаметра маленькой окружности, если известна длина диаметра средней окружности.





@темы: Планиметрия

11:38 

Вторая основная лемма (Дирихле)

IWannaBeTheVeryBest
Здравствуйте. В Фихтенгольце, в параграфе "Разложение функций в ряд Фурье", есть пункт "Вторая основная лемма", которая гласит
"Если функция `g(t)` монотонно возрастает, оставаясь ограниченной в промежутке `[0, h]`, где `h>0`, то
`lim_{p->\infty} int_{0}^{h} g(t)*(sin(pt)dt)/t = (pi/2) * g(+0)`"
Что означает запись `g(+0)`? Просто там еще есть обозначения вроде `(g(t + 0) + g(t - 0))/2`.
По моему предположению, первое означает `lim_{t->+0} g(t)`. А во втором речь про бесконечно малую окрестность точки (так как функция в самой точке имеет разрыв или скачок). Правильно?

@темы: Математический анализ

13:03 

Про выпуклый четырёхугольник

wpoms.
Step by step ...


Точки `P, Q, R, S` - середины сторон `BC, CD, DA, AB` выпуклого четырехугольника `ABCD` соответственно. Докажите, что `4*(AP^2 + BQ^2 + CR^2 + DS^2) \le 5*(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2)`.



@темы: Доказательство неравенств, Планиметрия

22:52 

Задача с Санкт-Петербургской региональной студенческой математической олимпиады 2009г

Пусть `f(x) = sum_(k=1)^(oo) cos(4^k*x)/2^k`. Доказать существование такой константы `C > 0` , что для всех `x_1, x_2 in RR => |f(x_1) - f(x_2)| <= C*(|x_1 - x_2|)^(1/2)`.

Исходный функциональный ряд сходится равномерно (его можно сравнить с рядом `sum_(k=1)^(oo) 1/2^k`). Можно ли сделать вывод о существовании `C` из равномерной сходимости функционального ряда?

@темы: Олимпиадные задачи, Ряды

16:35 

Gormogon
Добрый день!
Нужна помощь вот с такой формулировкой задания:
Нужен способ вычислить пределы интегрирования, в которых функция принимает наибольшие значения. Значение этого интеграла - 0.5. Интервал самой функции 0 - 4260.
Т.е. границы верхней выпуклости, площадь которой 0.5.

@темы: Математический анализ

23:18 

Параметр

Здравствуйте, есть параметр с вступительных МГУ ( 2015) , нет идей для решения.
Найдите все такие вещественные 'a' при которых, при которых уравнение имеет ровно одно решение на промежутке [0:п].
`a*e^(2*sqrt(2)*cosx)=1-cos2x.`

@темы: Задачи с параметром

18:59 

Поле

Здравствуйте. Есть теорема: множество классов эквивалентных многочленов относительно операции сложения и умножения образуют кольцо. Если p(x)-неприводимый многочлен, то это кольцо является полем.
Нужно: 1) ввести понятие отношения эквивалентности (видимо многочленов); 2) проверить корректность операций сложения и умножения; 3) проверить аксиомы поля.

1) Эквивалентность: рефлексивность f(x)~f(x), симметричность f(x)~h(x) -> h(x)~f(x), транзитивность f(x)~h(x), h(x)~k(x) -> f(x)~k(x). И точно ли многочленов.. Как можно доказать, что это все верно?
2) Нужно показать, что f(x)+h(x) и f1(x)+h1(x) лежат в одном классе. И f(x)*h(x) и f1(x)*h1(x) лежат в одном классе.
3) Доказать аксиомы поля по сложению и умножению (ассоциативность, коммутативность, нейтральный элемент и обратный элемент).

Где про эту теорему можно почитать и где есть доказательства этих пунктов? Или направьте, как это можно доказать. Спасибо.

@темы: Теория поля

10:52 

Прошу помощи с пределом

Здравствуйте!

Прошу помочь с вычислением предела. Стандартные методы, вроде домножения на сопряженное, лопиталь, оценка сверху-снизу, результатов не принесли. Спасибо.

читать дальше

`lim_(n->oo) 2n(root 7 (n^7+7n^6) - sqrt (n^2+2n))`

@темы: Пределы, Математический анализ

19:03 

Ассимптотическая устойчивость системы ДУ

IWannaBeTheVeryBest
При каких альфа нулевое решение данной системы
`{(x' = -3x + \alpha y),(y' = -\alpha x + y):}`
ассимтотически устойчиво?
Вообще, насколько я понимаю, надо составить матрицу из производных по икс и по игрек обоих уравнений (Якобиан вроде называется), и составить характеристическое уравнение `det(J - \lambda E) = 0`. Дальше наша задача определить, при каких альфа действительная часть корней этого уравнения будет отрицательной.
Поехали.
`J = ` $\left(\begin{array}{c c}-3 & \alpha \\ -\alpha & 1\end{array}\right)$
`J - \lambda E = ` $\left(\begin{array}{c c}-(3 + \lambda) & \alpha \\ -\alpha & 1 - \lambda \end{array}\right)$
`det(J - \lambda E) = (\lambda - 1)(\lambda + 3) + \alpha^2 = \lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2`
`\lambda^2 + 2\lambda - 3 + \alpha^2 = 0`
Ну, я для комплексных чисел не стал проверять, но для действительных проверил. Где-то видел правило, что если все коэффициенты уравнения >0, то условие на отрицательные действительные части будет выполнено.
`- 3 + \alpha^2 > 0`
`\alpha^2 > 3`
`\alpha \in (-\infty; -sqrt(3))\cup(sqrt(3); +\infty)`
Верно? Просто я не понял, зачем здесь тогда указывать про нулевое решение, когда тут для любого решения получается это выполняется. Производные уравнения не содержат в себе функции, зависящие от икс или игрек. А соответственно любое решение такой системы должно быть ассимптотически устойчивым.

@темы: Дифференциальные уравнения

18:20 

wpoms
Step by step ...
Результаты профильного ЕГЭ по математике продемонстрировали рост уровня подготовки выпускников

Предварительные результаты ЕГЭ по математике профильного уровня, прошедшего 6 июня, продемонстрировали рост уровня подготовки выпускников, которые станут абитуриентами технических вузов.

читать дальше

@темы: Новости, ЕГЭ

09:21 

Занимательные задачи, ЕГЭ 2016, 6 июня

wpoms
Step by step ...
Занимательные задачи, ЕГЭ 2016, 6 июня

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых больше 53 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 4 ходов.
б) Можно ли сделать 9 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

читать дальше

@темы: ЕГЭ

09:17 

Уравнения, неравенства, параметры, ЕГЭ 2016, 6 июня

wpoms
Step by step ...
Уравнения, неравенства, параметры, ЕГЭ 2016, 6 июня

а) Решите уравнение `2cos2x=4sin(pi/2+x)+1`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-5pi/2; -pi]`

читать дальше

@темы: ЕГЭ, Задачи с параметром, Иррациональные уравнения (неравенства), Комбинированные уравнения и неравенства, Логарифмические уравнения (неравенства)

07:29 

Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

wpoms
Step by step ...
Геометрия, ЕГЭ 2016, 6 июня

В правильной призме `A\dots C_1` сторона основания `AB` равна 6, а боковое ребро `AA_1` равно 3. На ребре `B_1C_1` отмечена точка `L` так, что `B_1L=1`. Точки `K` и `M` --- середины рёбер `AB` и `A_1C_1` соответственно. Плоскость
`\gamma` параллельна прямой `AC` и содержит точки `K` и `L`.
а) Докажите, что прямая `BM` перпендикулярна плоскости `\gamma`.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой --- точка `M`, а основание --- сечение призмы плоскостью `\gamma`.
б') Найдите расстояние от вершины `C`, до плоскости `\gamma`.

читать дальше

@темы: Стереометрия, Планиметрия, ЕГЭ

15:33 

Привести к интегралу Эйлера

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((sqrt(x)*lnx)dx)/(1 + x)`
Функция B нам тут не подойдет, так как присутствует логарифм в интеграле. Хотя в функции Г тоже не видно логарифма. Поэтому я думал как-то избавиться от него. Но простая казалось бы замена `x = e^t` нам дает пределы интегрирования очень плохие. Если брать по частям интеграл, то логарифм не уйдет. Как минимум, если `u = lnx`, то в другой части он вылезет обязательно. Получается от него не избавиться. Значит надо как-то преобразовать, скажем, функцию Г так, чтобы в ней появился этот логарифм. Но тут проблема в том, что самая похожая на мой интеграл функция, а именно `\Gamma' (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*lnx*e^{-x} dx` содержит экспоненту. Ее просто так, с голого места не получить. Ее надо как то вводить. Может быть путем замены какой-нибудь. Хотя опять же в функциях В и Г нижние пределы интегрирования нули. Из-за них, после замены, будет вылезать предел `-\infty`.
Можно попробовать например продифференцировать функцию B по любому параметру. Там будет вылезать логарифм. Функция Г опять же не вариант, так как от экспоненты никуда не денешься.
Если что ниже укажу
`\B (a, b) = int_{0}^{1} x^(a - 1) * (1 - x)^(b - 1) dx = |x = t/(1 + t)| = int_{0}^{\infty} (t^(a - 1)dt)/((1 + t)^(a + b))`
`\Gamma (a) = int_{0}^{\infty} x^(a - 1)*e^{-x} dx`

@темы: Математический анализ

14:37 

Вычислить интегралы. 2

IWannaBeTheVeryBest
Всем привет. Хотел, чтобы проверили. И у меня еще есть вопрос.
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^2`
Воспользоватся тем, что `int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2) = (pi*e^(-|y|))/2` (интеграл Лапласа)
Решение.
`(dI)/(dy) = -int_{0}^{\infty} (xsin(yx)dx)/(1 + x^2)^2 = |u = sin(xy); dv = -xdx/(1 + x^2)^2| = sin(xy)/(2(1 + x^2))|_{0}^{\infty} - y/2 * int_{0}^{\infty} (cos(xy) dx)/(1 + x^2) = `
`= -y/2 * pi/2 * e^{-|y|} = pi/4 * (-ye^{-|y|})`
Тогда
`I = pi/4 int -ye^{-|y|} dy = pi/4 * e^{-|y|} + C`
Константу можно определить как
`I(0) = int_{0}^{\infty} dx/(1 + x^2)^2 = pi/4`
`I = pi/4 * (e^{-|y|} + 1)`
Я только вот здесь не понимаю, каким образом определяется константа. Мы можем любое значение под интеграл подставлять? Лишь бы могли его вычислить? Не обязательно же константу определять, как `I(0)`? Или нужно, чтобы интеграл превращался в 0? Ну просто в моем случае, я думаю это верно, так как 0 будет гарантировать, что в числителе у меня будет точно 1. А вообще есть какое-то правило, по которому надо определять эту константу? Или без разницы?
`I(y) = int_{0}^{\infty} (cos(yx)dx)/(1 + x^2)^3`
Здесь было написано тоже решить. Но мне кажется, что он просто сводится к предыдущему дифференцированием по параметру. Верно?

@темы: Математический анализ

22:02 

Вычислить интегралы.

IWannaBeTheVeryBest
`int_{0}^{\infty} ((x - sinx)dx)/x^3`
Вычитал про них из Фихтенгольца. Хотя может дальше про них что-то еще сказано... Но пока вот что я сделал
1) Разбиваем интеграл на 2 части
`int_{0}^{1} + int_{1}^{\infty}`
2) Подбираем ряд для подынтегральной функции
`sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 1))/((2n - 1)!)`
`x - sinx = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n + 1))/((2n + 1)!)`
`(x - sinx)/x^3 = sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!)`
Этот ряд сходится равномерно только при `|x| < 1`. То есть в нашем случае мы имеем право таким образом, применяя ряд, интегрировать только первый интеграл.
Первый интеграл будет равен `sum_{n = 1}^{\infty} ((-1)^(n - 1) x^(2n - 2))/((2n + 1)!*(2n - 1))` если не ошибаюсь.
Что делать со вторым? Там где-то вроде еще была замена `x = 1/z`. Может прокатит? Там как раз пределы интегрирования поменяются. Или так просто ничего не изменится?
И еще один
`int_{0}^{1} ((x^(n - 1) - 1)dx)/lnx`
Тут мне просто не понятно, что за n. Вроде не сказано, что это параметр из какой-то области. Может просто типа константа любая. Однако я что-то не могу здесь применить способ решения через ряды? Какой-то другой здесь используется? Хотя можно попробовать от логарифма в знаменателе избавиться с помощью замены вроде `x = e^t`.
Очень удобные тогда будут в этом случае пределы интегрирования. На них экспоненциальный ряд точно сходится равномерно.

@темы: Математический анализ

20:55 

Единственное решение

wpoms.
Step by step ...


Пусть `c_1, c_2, ldots ,c_n, b_1, b_2, ldots ,b_n \ \ (n\geq 2)` - положительные действительные числа. Докажите, что `sum_{i = 1}^{n} c_i*sqrt{x_i - b_i} = 1/2*\sum_{i = 1}^{n} x_i` имеет единственное решение `(x_1, ldots ,x_n)` тогда и только тогда, когда `sum_{i = 1}^{n} c_i^2 = sum_{i = 1}^{n} b_i`.



@темы: Системы НЕлинейных уравнений

11:31 

Доказать устойчивость нулевого решения по определению

IWannaBeTheVeryBest
Не люблю, когда прилетают нестандартные задачи, о которых в интернете мало что сказано.
Доказать по определению, что нулевое решение ДУ `x' = -3x` ассимптотически устойчиво.
Все, что я находил про устойчивость касалось исключительно систем. Я так понимаю, что передо мною стоит задача опустить условия для систем на одиночное ДУ.
Не хочу доказывать асс. уст-ть, пока не докажу обычную. Хотя может этого и не требуется делать.
Определение должно быть таким
Решение `y = \varphi(x)` является устойчивым по Ляпунову, если для любого `\epsilon > 0` существует такая `\delta(\epsilon) > 0`, что как только `|y(x_0) - \varphi(x_0)| < \delta` сразу же выполняется `|y(x) - \varphi(x)| < \epsilon` (для `x > x_0`).
Предположим, что в нашем случае `x' = dx/dt`, хотя как мне кажется, без разницы по какой букве выбирать дифференцирование.
Для начала я найду общее решение.
`dx/x = -3dt`
`lnx = -3t + C`
`x = C*e^{-3t}`
Нулевое решение, как я понимаю, это `x(0) = 0`. Решением такой задачи Коши является просто 0. А решением задачи `x(0) = x_0`, является функция `x = x_0*e^{-3t}`
Неравенства должны принимать такой вид
`|x_0 - 0| = |x_0| < \delta`
`|x_0*e^{-3t}| < \epsilon` для `t > t_0`
Положим `\delta = \epsilon`. Дальше можно сделать преобразования
`|x_0*e^{-3t}| = |x_0|*e^{-3t} < |x_0| < \delta = \epsilon` для `t > 0`
Для ассимптотической устойчивости достаточно сказать, что `|x(t) - \varphi(t)| -> 0`, при `t -> \infty`
То есть `lim_{t -> \infty} x_0*e^{-3t} = 0`. Это очевидно для положительных t, что нам и надо.
Все верно? Просто само выражение "нулевое решение" меня как-то смущает.

@темы: Дифференциальные уравнения

22:57 

Дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

IWannaBeTheVeryBest
Еще один вопрос по диффурам сегодня.
`(2x + 3)^3 y''' + 3(2x + 3)y' - 6y = 0`
`2x + 3 = t`
`dx = 1/2dt`
`y' = dy/dx = 2dy/dt`
`y''' = 2(d^3y)/dt^3`
`2t^3 y''' + 6ty' - 6y = 0`
Это уравнение Эйлера. Сводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой
`t = e^z;dt = e^zdz`
`y' = dy/dt = e^{-z}dy/dz`
Ну и так далее. Чтобы не отнимать большое количество времени, хотел спросить. В конце у нас же получится функция `y(z)`, если не ошибаюсь. А изначально у нас игрек зависел от икса. Мне придется обратно как-то приходить к зависимости от икс?

@темы: Дифференциальные уравнения

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная