• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
10:24 

Игра Пенни

Помнится, как-то всплывала тема игры Пенни. На ютубе вышло отличной видео на эту тему, хотел поделиться с сообществом
www.youtube.com/watch?v=Sa9jLWKrX0c

@темы: Интересная задача!

23:36 

Делимость

wpoms.
Step by step ...


Число `A` в десятичной системе записывается `3^{2013}` цифрами `3`. Другие цифры в десятичной записи числа `A` не используются. Найдите самое большое натуральное число `n` такое, что `3^n` делит число `A`.



@темы: Теория чисел

14:27 

В треугольнике

wpoms.
Step by step ...


В остроугольном треугольнике `ABC` точка `E` является основанием перпендикуляра опущенного из вершины `B` на `AC`. Пусть `l` - касательная к окружности, описанной около треугольника `ABC`, проведённая в точке `B`. Точка `F` - основание перпендикуляра опущенного из точки `C` на `l`. Докажите, что прямая `EF` параллельна прямой `AB`.



@темы: Планиметрия

21:02 

wpoms
Step by step ...
В одном из комментариев приведено условие такой задачи

Дана последовательность из 10 натуральных чисел, причем каждый следующий элемент больше предыдущего не более чем на 10. Среднее арифметическое первых пяти чисел равно 15, последних шести равно 50.
а) может ли среднее арифметическое первых 4 быть равно 11?
б) может ли среднее арифметическое первых 4 быть равно 14?
в) какое самое большое число может быть средним арифметическим всех 10 чисел?

Решение в сети найти не удалось, за исключением испорченного изображения.

читать дальше

Пожалуйста, помогите восстановить пропуски или напишите свое полное решение.
:beg:

@темы: ЕГЭ

14:47 

Что больше?

Что больше `100^(300)` или `300!`?
Пытаюсь написать дробь: `(300*299*298....*100*99*...*1)/(100*...*100)`
Вообще пытаюсь доказать, что дробь больше единицы. Понятно, что со множителями `300,299,...,100` проблем нет, а вот дальше проблема возникает с оставшимися `99,98...1`. Я сначала подумал, что у нас все равно 200 превосходящих множителей, так что они перебьют, но как бы не так. Как оказалось: `(100+m)(100-m)<100^2` То есть если взять `99` в паре с `101`, то даже их произведение, деленное на 100^2 будет меньше единицы.
Подскажите как это решить. Задачка то простая, но никак не могу довести решение

@темы: Теория чисел

10:04 

wpoms
Step by step ...
57 Международная математическая олимпиада

Агаханов Н. Х., руководитель сборной команды
Терёшин Д. А., заместитель руководителя сборной команды
Пратусевич М. Я., заместитель руководителя сборной команды

Вепрев Г. А., Лицей № 2, г. Рыбинск, Ярославская область
Губкин П. В., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Карагодин Н. А., Президентский физико-математический лицей № 239, Санкт-Петербург
Салимов Р. И., Школа № 1329, Москва
Фролов И. И., Школа № 1329, Москва
Юргин Г. А., Лицей «Вторая школа», Москва

Успехов!



Day 1.

1. Triangle `BCF` has a right angle at `B`. Let `A` be the point on line `CF` such that `FA=FB` and `F` lies between `A` and `C`. Point `D` is chosen so that `DA=DC` and `AC` is the bisector of `/_DAB`. Point `E` is chosen so that `EA=ED` and `AD` is the bisector of `/_EAC`. Let `M` be the midpoint of `CF`. Let `X` be the point such that `AMXE` is a parallelogram. Prove that `BD,` `FX` and `ME` are concurrent.

2. Find all positive integers `n` for which each cell of `n x n` table can be filled with one of the letters I, M, O in such way that:
- in each row and each collumn, one third of the entries are I, one third are M, one third are O; and
- in any diagonal, if the number of entries on the diagonal is a multiple of three, then one third of the entries are I, one third are M, one third are O.
Note. The rows and columns of an `n x n` table are each labelled `1` to `n` in a natural order. Thus each cell corresponds to a pair of positive integer `(i,j)` with `1 <= i,j <= n`. For `n>1`, the table has `4n-2` diagonals of two types. A diagonal of first type consists all cells `(i,j)` for which `i+j` is a constant, and the diagonal of this second type consists all cells `(i,j)` for which `i-j` is constant.

3. Let `P=A_1A_2...A_n` be a convex polygon in the plane. The vertices `A_1, A_2, ... A_n` have integral coordinates and lie on a circle. Let `S` be the area of `P`. An odd positive integer `n` is given such that the squares of the side lengths of `P` are integers divisible by `n`. Prove that `2S` is an integer divisible by `n`.

Day 2.

4. A set of postive integers is called fragrant if it contains at least two elements and each of its elements has a prime factor in common with at least one of the other elements. Let `P(n)=n^2+n+1`. What is the least possible positive integer value of `b` such that there exists a non-negative integer `a` for which the set
`{P(a+1),P(a+2),...,P(a+b)}`

is fragrant?

5. The equation
`(x-1)(x-2)...(x-2016)=(x-1)(x-2)...(x-2016)`

is written on the board, with `2016` linear factors on each side. What is the least possible value of `k` for which it is possible to erase exactly `k` of these `4032` linear factors so that at least one factor remains on each side and the resulting equation has no real solutions?

6. There are `n >= 2` line segments in the plane such that every two segments cross and no three segments meet at a point. Geoff has to choose an endpoint of each segment and place a frog on it facing the other endpoint. Then he will clap his hands `n-1` times. Every time he claps, each frog will immediately jump forward to the next intersection point on its segment. Frogs never change the direction of their jumps. Geoff wishes to place the frogs in such a way that no two of them will every occupy the same intersection point at the same time.
(a) Prove that Geoff can always fulfill his wish if `n` is odd.
(b) Prove that Geoff can never fulfill his wish if `n` is even.



@темы: Олимпиадные задачи

19:57 

wpoms
Step by step ...
Официальные решения и критерии оценивания занимательных задач ЕГЭ 2016

Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {200;201;202;...299} хорошим?
б) Является ли множество {2;4;8;...;2^(100)} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {1;2;4;5;7;9;11}?
читать дальше

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа `a` и `b`, записанные на доске, заменяются на два числа: или `a+b` и `2a-1`, или `a+b` и `2b-1` (например, из чисел 2 и 3 можно получить либо 3 и 5, либо 5 и 5).
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из двух чисел, написанных на доске, окажется числом 13.
б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?
в) Сделали 513 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?
читать дальше

На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример последовательных 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
читать дальше

Последовательность `a_1,` `a_2,` ..., `a_n` (`n >= 3`) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.
б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при `n = 10`?
читать дальше

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» --- процент побед, округлённый до целого, «ничьи» --- процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равные разности 100 и суммы показателей «побед» и «ничьих». (Например, число 13,2 округляется до 13, число 14,5 округляется до 15, число 16,8 округляется до 17.)
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» может быть равным 1?
читать дальше

Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.
а) Приведите пример числа, для которого это частное равно `113/27`.
б) Может ли это число равняться `125/27`?
в) Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?
читать дальше

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно `A`, среднее арифметическое чисел во второй группе равно `B`. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше `(A+B)/2`;
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно `(A+B)/2`;
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения `(A+B)/2`.
читать дальше

Последовательность `a_1, a_2, ..., a_6` состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть `M_k` - среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме `k`-го. Известно, что `M_1 = 1`, `M_2 = 2`.
а) приведите пример такой последовательности, для которой `M_3 = 1.6`.
б) существует ли такая последовательность, для которой `M_3 = 3`?
в) Найдите наибольшее возможное значение `M_3`.
читать дальше

Материалы сайта alexlarin.net

@темы: ЕГЭ

12:31 

wpoms
Step by step ...
В сообществе Волшебство Wasan можно найти задачи традиционной японской математики.



24 декабря 2015 г.



Требуется доказать, что диаметр желтой окружности равен удвоенному корню
из произведения диаметров синей и зеленой окружностей.





В большинстве предлагаемых задач для решения достаточно использовать теорему Пифагора. В данной задаче можно рассмотреть прямоугольный треугольник с вершинами в центре красной окружности, точке касания желтых окружностей и центре желтой окружности.


Попробуйте решить эту и другие опубликованные в сообществе задачи. Если возникнут проблемы с пониманием условий, то пишите, попробуем разобраться вместе.

@темы: Планиметрия

15:49 

Чем больше я узнаю людей, тем больше мне нравятся собаки.
Блог El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha - 2

Тематика сообщений в сообществе За возрождение образования несколько шире. Например, там рассказывается о визите Ященко в Петрозаводск. Соглашаться с мнением автора публикации без прослушивания приложенной аудиозаписи вряд ли разумно. В частности, в своем выступлении Ященко утверждает, что приобретать и использовать при подготовке к базовому егэ или к первой части профильного пособия, подготовленные им и его соратниками, не нужно, так как все задания есть в банках заданий. Я не знаю, он и в самом деле не понимает, что говорит, или намеренно вводит публику в заблуждение? Эти замечательные пособия можно использовать и без интернета, и без электричества, в них можно делать пометки, и, самое главное, в них есть ответы, позволяющие школьнику проверить свои знания.

1. Пособие 30 вариантов экзаменационных заданий. Базовый уровень.

Задание 13 на стр. 13. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 0,5 высоты. Объём жидкости равен 190 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Ответ. 570

Понятно, что Ванечку, по его словам, не обучали стереометрии в 57 школе, но ведь есть и люди, закончившие другие школы или ту же 57 несколько ранее и знающие стереометрию на элементарном уровне.

2. Пособие ЕГЭ 2016. 4000 задач. (Я с большим удовольствием упомянул бы о том, что соредактором Ванечки является Лешенька, так эта задача уже не первый год предлагается школьникам, но, по непонятным причинам, в последнее время трижды академика не удостаивают высокого звания --- соредактор всех пособий по подготовке к егэ по математике.)

Задание 480 стр. 112. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0 = 250 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f(v) = ... (Гц), где с — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются более чем на 2 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.

3. Проблемы с изображением равностороннего треугольника на клетчатой бумаге. Подробнее можно посмотреть по ссылке a-shen.livejournal.com/98749.html Интересное обсуждение.

@темы: ЕГЭ

14:37 

Чем больше я узнаю людей, тем больше мне нравятся собаки.
Блог El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha - 1

В основном в этом блоге воспроизводятся записи из сообщества За возрождение образования.

В заметке ШКАЛА ПЕРЕСЧЕТА С ПРАВОВЫМИ ПОСЛЕДСТВИЯМИ говорится о том, что школьникам одного региона на экзаменах в этом году предлагались различающиеся по сложности задания. При этом упоминаются варианты ---типичный простой вариант в часовой зоне Москвы — № 509, типичный сложный — № 411. Вариант 411 обнаружить не удалось, а вариант 509 вроде бы присутствует на сайте Гущина. Там же есть и вариант 412, но не ясно насколько он соответствует варианту 411. К сожалению, представить эти варианты и организовать голосование --- какой же вариант сложнее --- не представляется возможным из-за требования создателей сайта зарегистрироваться для ознакомления с информацией. Любопытно, Гущин переживает, что материалы сайта скопировали какие-то предприимчивые граждане и используют скопированные задания в своей тестовой системе. Очевидно, что это не боязнь потерять часть доходов от показа рекламы, но переживания о том, что задания попадают к конкурентам с имеющимися ошибками. Например, в задании № 514515 говорится, что

Точки A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC, в котором угол A тупой.
а) Докажите, что отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1 , лежит на окружности, описанной около треугольника B1AC1 .
б) Известно, что AB = AC = 13 и BC = 24. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и B1AC1 .


Подобных неточностей достаточно много в условиях, решениях, ответах, что несколько портит впечатление от этого полезного сайта.

Если вернутся к заметке о шкале пересчета, то там упоминается и заметка 2015 года, в которой говорится, что более сложные варианты серии 700 достались 5% школьников, что меньше, чем в этом году. Хотелось бы посмотреть на эти варианты. Их характерная черта --- наличие задачи о пенсионном фонде.

@темы: ЕГЭ

11:10 

wpoms
Step by step ...
Эта задача для ценителей, знающих что представляет собою вписанный в прямоугольник круг.





Найдите длину малой оси эллипса, если известны длины оснований равнобедренной трапеции.



@темы: Планиметрия

06:13 

wpoms
Step by step ...
Еще один возможный вариант заданий ЕГЭ

а) Решите уравнение `2*log_9^2 x - 3*log_9 x + 1 = 0.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[sqrt(10); sqrt(99)].`

В правильной треугольной призме `ABCA_1B_1C_1` сторона `AB` основания равна 12, а высота призмы равна 2. На рёбрах `B_1C_1` и `A_B` отмечены точки `P` и `Q` соответственно, причём `PC_1 = 3,` а `AQ = 4.` Плоскость `A_1PQ` пересекает ребро `BC` в точке `M.`
а) Докажите, что точка `M` является серединой ребра `BC.`
б) Найдите расстояние от точки `B` до плоскости `A_1PQ.`

Решите неравенство:
`(27^(x+1/3)-10*9^x+10*3^x-5)/(9^(x+1/2)-10*3^x+3) <=`
`3^x + 1/(3^x-2) + 1/(3^(x+1)-1).`

На катетах `AC` и `BC` прямоугольного треугольника `ABC` как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке `M.` Точка `Q` лежит на меньшей дуге `MB` окружности с диаметром `BC.` Прямая `CQ` второй раз пересекает окружность с диаметром `AC` в точке `P.`
а) Докажите, что прямые `PM` и `QM` перпендикулярны.
б) Найдите `PQ,` если `AM = 6,` `BM = 2,` а `Q` --- середина дуги `MB.`

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере `S` тыс. рублей, где `S` --- натуральное число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 17,5% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
07.2016 — S
07.2017 — 0,9S
07.2018 — 0,4S
07.2019 — 0
Найдите наименьшее значение `S,` при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Найдите все значения `а,` при каждом из которых система уравнений
`(xy^2-xy-6y+6)sqrt(y+2) = 0,`
`y = ax`
имеет ровно три различных решения.

Последовательность `a_1, a_2, ..., a_6` состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть `M_k` --- среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме `k`-го. Известно, что `M_1 = 1,` `M_2 = 2.`
а) приведите пример такой последовательности, для которой `M_3 = 1.6.`
б) существует ли такая последовательность, для которой `M_3 = 3?`
в) Найдите наибольшее возможное значение `M_3.`

@темы: ЕГЭ

17:36 

Чем больше я узнаю людей, тем больше мне нравятся собаки.
Лифтеры в законе

На сайте Российского совета олимпиад школьников в документе Порядок проведения олимпиад школьников (Приказ Минобрнауки РФ №267 от 04.04.2014) (rg.ru/2014/07/04/provedenie-dok.html) говорится:

14. Организатор олимпиады:

в срок до 1 сентября разрабатывает, утверждает и публикует на своём официальном сайте или официальном сайте олимпиады в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" (далее - сеть "Интернет") условия и требования по проведению олимпиады, олимпиадные задания прошлых лет и критерии их оценивания;

в срок до 15 мая публикует на своём официальном сайте или официальном сайте олимпиады в сети "Интернет" с учётом условий и требований по проведению олимпиады, олимпиадные работы победителей и призёров олимпиады с указанием персональных данных участников олимпиады;

16. К участию в последующем этапе олимпиады допускаются победители и призеры предшествующего этапа олимпиады.

По паре московских и паре питерских олимпиад не удалось обнаружить информацию, которую организаторы социальных лифтов обязаны предоставить.

Олимпиада Турнир городов, Москва. К участию в финальном туре допускаются лица, не принимавшие участия в отборочных турах, не нашел скан-копии работ победителей или видеозаписи их опроса при устной защите решений.

Олимпиада Юношеской математической школы, Санкт-Петербург. Не нашел условия задач финального тура, скан-копии работ победителей или видеозаписи их опроса при устной защите решений.

Петербургская олимпиада школьников по математике, Санкт-Петербург. К участию в финальном туре допущены лица, не принимавшие участия в отборочном туре, не нашел скан-копии работ победителей или видеозаписи их опроса при устной защите решений, не опубликованы задания отборочного и финального туров.

Московская математическая олимпиада, Москва. Не нашел скан-копии работ победителей или видеозаписи их опроса при устной защите решений, не опубликованы задания отборочного тура.

Помогите найти информацию! ) Не могут же числится олимпиадами первого уровня те, которые не соответствую указанным в Порядке требованиям.

@темы: Про самолеты

23:43 

Объем n-мерного шара

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться с задачей.

Объем n-мерного шара единичного радиуса можно найти по формуле V_n = V_(n-1) * I_n, где I_n = integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]

V_n,2e = V_(n-1)*I_n,2e, где I_n,2e = integral (cos^n x) dx, x=[-e..e] - объем "среднего слоя" n-мерного шара. Слой этот расположен симметрично относительно центра шара. Толщина слоя достаточно мала и равняется 2e (два эпсилон).

Требуется найти предел отношения объема такого слоя к объему всего шара при n -> infinity.

Иначе говоря lim ( [integral (cos^n x) dx, x=[-pi/2..pi/2]] / [integral (cos^n x) dx, x=[-e..e]] ) as n ->infinity

Интуитивно ясно и достаточно очевидно из графика, что предел равен 1, поскольку при увеличении n график все сильнее будет сжиматься к Oy, но показать этот результат аналитически пока не удалось. Манипуляции с reduction formula к успеху не привели.

Спасибо.

@темы: Математический анализ

18:43 

К теореме Пикара-Линделёфа

На экзамене сегодня попалась эта теорема. Хотелось бы разобраться хотя бы с условием.

Вопросов пока три

@темы: Дифференциальные уравнения

11:24 

Сходящийся интеграл

В одном из примеров из книжки Гелбаума, Олмстеда: "Контрпримеры в анализе" дан следующий пример:

У меня вопрос следующий: а зачем вообще `f(x)` определялась тут, как `f(x)=g(x)+1/x^2`? почему нельзя было просто положить `f(x)=g(x)`? Все равно стремления к нулю `1/x^2` не добавило, да и сходимости тоже

@темы: Интегралы

17:34 

Чем больше я узнаю людей, тем больше мне нравятся собаки.
Сообщение Отделения математических наук РАН

09.06.2016

31-го мая 2016 года состоялось расширенное заседание бюро ОМН РАН, на котором был поднят вопрос о пресс-конференции двух руководящих сотрудников Московского педагогического государственного университета (МПГУ), по вопросу развития российского образования. В пресс-конференции принимали участие академик РАН А. Л. Семёнов и директор института "Высшая школа образования" МПГУ К.Е. Зискин.

В результате обсуждения бюро ОМН РАН приняло следующее заявление (приложение 1).

Публикуется также отчет о пресс-конференции ИНТЕРФАКСа (приложение 2).




Комментарий А. Шевкина: www.shevkin.ru/?action=ShowTheFullNews&ID=1235

@темы: Образование

00:18 

Как дифференцируют?

Задача: из дифференциальной формы получить интегральную форму поля напряженности некоторых тел (плоскость, пластинка, сфера, шар, нить, цилиндр).
Берут шар, ввиду шаровой симметрии `vec E = E(r) vec r / r` или `E_x=E(r)x/r`, `E_y=E(r)y/r` и `E_z=E(r)z/r`.
Дифференцируя `E_x` и учитывая, `(partial r)/(partial x)=x/r` (последнее получается дифференцированием равенства `r^2=x^2+y^2+z^2`), находим
`(partial E_x)/(partial x) = (dE)/(dr)*x^2/r^2-E/r^3+E/r`.
Как так продифференцировали `(partial E_x)/(partial x)`?

@темы: Функции нескольких переменных

11:43 

Задания резервного дня

wpoms
Step by step ...
Задания резервного дня1



а) Решите уравнение `sin 2x + 2cos(x-pi/2) = sqrt3 cos x + sqrt3.`
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-3pi; -(3pi)/2].`



На ребрах `CD` и `B B_1` куба `ABCDA_1B_1C_1D_1` c ребром 12 отмечены точки `P` и `Q` соответственно, причем `DP=4,` а `B_1Q=3.` Плоскость `APQ` пересекает ребро `C C_1` в точке `M.`
а) Докажите, что точка `M` является серединой ребра `C C_1.`
б) Найдите расстояние от точки `C` до плоскости `APQ.`



Решите неравенство:
`(9^x-3^(x+1)-19)/(3^x-6) + (9^(x+1)-3^(x+4)+2)/(3^x-9) <= 10*3^x + 3.`



В прямоугольном треугольнике `ABC` с прямым углом `C` точки `M` и `N` --- середины катетов `AC` и `BC` соответственно, `CH` --- высота.
а) Докажите, что прямые `MH` и `NH` перпендикулярны.
б) Пусть `P` --- точка пересечения прямых `AC` и `NH,` а `Q` --- точка пересечения прямых `BC` и `MH.` Найдите площадь треугольника `PQM,` если `AH=4` и `BH=2.`



Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года.
Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на `x` млн рублей, где `x` --- целое число. Найдите наименьшее значение `x,` при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.



Найдите все значения параметра `a,` при каждом из которых система уравнений
`(x-3)(y+3x-9) = |x-3|^3,`
`y=x+a`
имеет ровно четыре различных решения.



На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно `A,` среднее арифметическое чисел во второй группе равно `B.` (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше `(A+B)/2`;
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно `(A+B)/2`;\\
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения `(A+B)/2`.

-----------------------------------------
1 alexlarin.net

@темы: ЕГЭ

13:22 

Калькулятор must die

wpoms.
Step by step ...


Вычислите значение `{2014^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4027^2} - {2012^4 + 4*2013^4}/{2013^2 + 4025^2}`.



@темы: Про самолеты

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная