18:06 

Алгебра

Пусть в кольце главных идеалов `A` элементы `u` и `v` удовлетворяют условиям:
1) `(u) subset (v)` ;
2) если `I` - идеал кольца `A` и `(u) subseteq I subseteq (v)`, то `I = (u)` или `I = (v)`
Как связаны между собой элементы `u` и `v`?


Мои наброски решения:
Т.к. `I subseteq (v)` , все элементы `I` имеют вид `vk`, `k in A`. По определению идеала, `I` замкнут по умножению со всеми элементами кольца `A`. Тогда для `i in A:` `vki in I`. В то же время из `(u) subseteq I` следует, что `I` содержит все элементы вида `un` `n in I`, значит `|k|<=|u/v|`

Подскажите, пожалуйста, сделал ли я то, что надо или же нет

@темы: Высшая алгебра

23:03 

Простые числа

IWannaBeTheVeryBest
"Найти все простые `p`, такие, что `3p + 20` и `3p + 22` тоже простые"
Ну любое простое число представимо в виде
`p = 6k +- 1`, `k \in Z`
Подставим в наши выражения
`3(6k + 1) + 20 = 18k + 23 = 6 * 3k + 6 * 4 - 1 = 6(3k + 4) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k - 1) + 20 = 18k + 17 = 6 * 3k + 6 * 3 - 1 = 6(3k + 3) - 1 sim 6q - 1`
`3(6k + 1) + 22 = 18k + 25 = 6 * 3k + 6 * 4 + 1 sim 6q + 1`
`3(6k - 1) + 22 = 18k + 19 = 6 * 3k + 6 * 3 + 1 sim 6q + 1`
Проблема только в том, что простое число лишь представимо в таком виде. Однако `6k + 1` не всегда является простым. Если `k = 4` то это составное число.
То есть я тут как бы доказал, что если мы подставим в `3p + 20` любое простое число, то мы будем получать числа вида `6k - 1`, не обязательно простые.

@темы: Теория чисел

21:17 

Вариационное исчисление. Экстремум функционала

IWannaBeTheVeryBest
Задача такая
`int_{0}^{1} (y')^3 dx -> inf`
`{(y(0) = 0), (y(1) = 1):}`
Эта задача разбирается в учебнике. Я добрался до условия Якоби. Для того, чтобы его проверить, надо выписать уравнение Якоби для данного случая. Но почему-то я всюду нахожу разные уравнения. В задачнике, где я разбираю эту задачу дано такое
`-d/dx(f_{y'y'}(x) * h'(x) + f_{y'y}(x) * h(x)) + f_{yy'}(x) * h'(x) + f_{yy}(x) * h(x) = 0`
В другом месте дано уравнение
`(f_{yy} - d/dx f_{yy'}) * h(x) - d/dx(f_{y'y'}*h'(x)) = 0`
Но что больше всего выносит мозг - это то, что уравнение Якоби в задачнике выписано для этого случая так
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`
С решением
`h(x) = C_1 * x + C_2`
Вот и мне не ясно, какое из уравнений верное, так как очевидно, что в первом из них 4 слагаемых, а в другом - 3. К тому же, с какой стати уравнение Якоби тут
`-d/dx 6 * h'(x) = 0`?
Двойная производная по `y'` функции `(y')^3` будет равна `6y'` и уравнение Якоби должно выглядеть так
`-d/dx 6y' * h'(x) = 0`

@темы: Уравнения мат. физики

00:59 

wpoms.
Step by step ...

Федеральное математическое соревнование. Самые красивые задачи (на нем. яз.) - Springer, 2016
Сборник содержит материалы одной из математических олимпиад Германии — Федерального математического соревнования — за 1970–2015 годы.

Сайт олимпиады
Книга


@темы: Литература, Олимпиадные задачи

09:53 

Методы Якоби, Зейделя (метод сеток)

Здравствуйте! Скажите, пожалуйста, понять никак не могу...вот в методах Якоби и Зейделя для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа используется четырехточечный шаблон... Допустим, надо найти значение y1,1, Тогда значения y0,1 и y1,0 нам известны из граничный условий, а как найти y2,1 и y1,2? Самим задавать?

@темы: Уравнения мат. физики

15:10 

Обобщенные функции

IWannaBeTheVeryBest
"Решить уравнение в обобщенных функциях
`(x - 1)(x - 2)y'' = P(1/x^2)`"
Вообще есть у кого какая литературка по этому? Находил лекции по обобщенным функциям, но проблема в том, что из лекций далеко не всегда понятно, как что-то решать. А примеров я тоже не нашел...

@темы: Дифференциальные уравнения, Уравнения мат. физики

18:54 

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

Добрый вечер! Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей Дирихле для уравнения Пуассона:
Δu=-f(x, y), x в П;
u на Г=[ln((x-a)^2+(y-b)^2)]/2, где Г - граница прямоугольника.
где f=0, П={0<=x<=1, 0<=y<=4}, a, b не принадлежат П.
Нужно найти точное решение данной задачи.
Подскажите, пожалуйста, в каком направлении действовать? Методом Фурье?

@темы: Уравнения мат. физики

13:31 

Математическая олимпиада в Литве

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Литве


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный.
Школьникам предлагаются разные комплекты заданий для каждого класса. Школьники 9-12 классов принимают участи во всех этапах, школьники 5-8 классов только в первых двух.

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

13:25 

Математическая олимпиада в Грузии

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Грузии


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный.

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

13:24 

Математическая олимпиада в Латвии

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Латвии


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный. Лучшие участники каждого этапа приглашаются к участию в следующем этапе.
Школьникам предлагаются разные комплекты заданий для каждого класса. Школьники 9-12 классов принимают участи во всех этапах, школьники 5-8 классов только в первых двух.
Первое соревнование по решению задач в Латвии состоялось в 1945-46 году. Регулярно подобные соревнования проводятся с 1949-50 учебного года.

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

13:23 

Теория чисел. Системы счисления.

IWannaBeTheVeryBest
"На какую цифру оканчивается число `32^101 + 35^301` в 15-чной системе счисления?"
Вроде знаю как решать. Чисто проверить верно или нет.
Изначально число дано в 10 системе счисления. Для перевода числа из десятичной в любую другую, мы делим данное число на основание системы ну и дальше составляем ответ из одного значения частного, и остальных остатков. По сути задачу можно переопределить так
"Найти остаток от деления `32^101 + 35^301` на 15"
Так как `32 = 15 * 2 + 2`, то можно сделать преобразование
`32^101 -= 2^101`
Дальше по теореме Эйлера
$a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod n)$, где `(a, n) = 1`
В таком случае, $2^{\phi(15)} \equiv 2^8 \equiv 1(mod 15)$
Тогда
`2^101 -= 2^96 * 32 -= (2^8)^12 * 32 -= 32` $\equiv 2 (mod 15)$
Второе слагаемое делится на 5, но не делится на 3. Поэтому нам надо найти остаток от деления `35^301/3`. Кстати, можно ли тут искать остаток `7^301/3`?
`35^301 -= 2^301`
Дальше по теореме Эйлера
$2^2 \equiv 1 (mod 3)$
`2^301 -= (2^2)^150 * 2 -= 2` $\equiv 2 (mod 3)$
Сумма остатков = 4. Ответ 4.

@темы: Теория чисел

13:10 

Математическая олимпиада в Армении

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Армении


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный. Отличает от других олимпиад наличие двух вариантов --- А и Б. Задания последнего более простые. Финал для варианта Б проводится на пару недель раньше финала для варианта А и его победители и призеры получают возможность принять участие в финале для варианта А.

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

16:38 

Математическая олимпиада в Эстонии

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Эстонии


Республиканская олимпиада школьников по математике

Олимпиада проводится ежегодно в три этапа: школьный, региональный и национальный. Лучшие участники каждого этапа приглашаются к участию в следующем этапе.
Школьникам предлагаются разные комплекты заданий для каждого класса. Школьники 9-12 классов принимают участи во всех этапах, школьники 7-8 классов только в первых двух. Школьный этап обычно проводится в декабре, региональный в январе или феврале, национальный -- в марте или апреле в Тарту. Задачи для каждого класса обычно соответствуют школьной программе, задачи последнего этапа могут выходить за рамки школьной программы.
Первое соревнование по решению задач в Эстонии состоялось в 1950 году. Следующее, которое состоялось в 1954 году, было названо первой эстонской математической олимпиадой.

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

16:11 

Математическая олимпиада в Казахстане

wpoms.
Step by step ...
Математическая олимпиада в Казахстане


Республиканская олимпиада школьников по математике

Эта олимпиада является основной и самой массовой олимпиадой старшеклассников, проводимой в Казахстане.
Основными целями и задачами олимпиады являются пропаганда научных знаний и развитие у учащихся интереса к научной деятельности, создание необходимых условий для выявления одаренных детей, подбор и подготовка учащихся к участию в международных олимпиадах, поднятие престижа образования в Республике Казахстан.
читать дальше

Республиканская олимпиада: задачи


@темы: Олимпиадные задачи

15:43 

wpoms.
Step by step ...

Кунгожин А. М., Кунгожин М. А., Байсалов Е. Р., Елиусизов Д. А. Математические олимпиады: Азиатско-Тихоокеанская, "Шелковый путь" - МЦНМО, 2017, 208 стр.
Сборник содержит материалы двух математических олимпиад: Азиатско-Тихоокеанской и «Шёлковый путь»—за 2002–2017 годы. Все задачи приведены с решениями и при необходимости сопровождаются рисунками и формулировками используемых фактов и теорем, не входящими в школьную программу.
Данные олимпиады проходят более чем в тридцати странах одновременно (включая Россию, Казахстан, США, Японию, Южную Корею и др.) и входят в перечень международных олимпиад Министерства образования и науки Республики Казахстан.
Книга будет полезна школьникам, студентам, педагогам и любителям математики для подготовки к олимпиадам высокого уровня, знакомства с олимпиадными идеями и методами.

Посмотреть задачи: Олимпиада «Шелковый путь», Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада
Купить: Математическая книга


@темы: Ссылки, Литература

21:22 

задача ОГЭ

подскажите пожалуйста, как найти вероятность того, что при броске двух одинаковых кубиков на одном из них выпадет число меньше 3, а на другом не более 3.
у меня получается 8/36 или 2/9, а Ященко в своих ответах дает 4/9

@темы: ГИА (9 класс)

20:55 

Теория чисел. Отношение сравнимости.

IWannaBeTheVeryBest
Вопрос чисто формальный. Чем отличается отрицательный остаток от положительного? Ну вот у меня задача
`f(x) = 15x^3 - 33x^2 + 7`. Найти остаток от деления `f(86)` на `11`.
Ну решение такое.
Вычисляем для коэффициентов остатки от деления на 11
$15 \equiv 4 (mod 11)$; $33 \equiv 0 (mod 11)$; $7 \equiv -4 (mod 11)$
Ну и еще $86 \equiv -2 (mod 11)$
$f(86) \equiv f(-2) (mod 11) \equiv 4 * (-2)^3 - 0 - 4 \equiv -36 \equiv -3 \equiv 8 (mod 11)$
И ответ получается 8. А почему бы нам не написать, что
$-36 \equiv -3 (mod 11)$ и не сказать, что ответ -3, а не 8? Или большой разницы нет? просто привычка еще с тригонометрии - брать меньший угол, поэтому как-то на автомате хочется взять число, меньшее по модулю :)

@темы: Теория чисел

22:56 

Теория чисел. Функция Эйлера.

IWannaBeTheVeryBest
`\phi(x) = 2`
В учебнике дано решение, но я его не могу понять никак. Просто на первой фразе встал.
"`x` обладает каноническим разложением. `x = p_1^{a_1} * \dots * p_k^{a_k}`. При этом `\phi(x) = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Пусть `\phi(x) = 2^m*l`, где `l` - нечетное. Поскольку для нечетного простого числа `p` величина `p - 1` четна, то в каноническом разложении `x` имеется не более `m` нечетных простых множителей." (дальше попробую сам понять)
Не понимаю причинно следственную связь. Как из одного вытекает другое. Все, что удалось мне выжать
`2^m * l` четное число.
`2^m * l = p_1^{a_1 - 1} * \dots * p_k^{a_k - 1} * (p_1 - 1) * \dots * (p_k - 1)`
Ну и понятно, что в последнем равенстве, справа не все множители нечетные.

@темы: Теория чисел

20:38 

задача ОГЭ

подскажите пожалуйста, как найти вероятность того, что при броске двух одинаковых кубиков на одном из них выпадет число меньше 3, а на другом не более 3.
у меня получается 8/36 или 2/9, а Ященко в своих ответах дает 4/9

@темы: ГИА (9 класс)

20:33 

Комбинаторика

skifalan
Из множества чисел `{1, 2, 3,..., 16}` случайно последовательно без возвращения выбирают два числа – `x` и `y`. Какова вероятность того, что тройка чисел `{x, y, 12}` является сторонами прямоугольного треугольника?

Проверьте пожалуйста моё решение.

Мои мысли:
читать дальше

@темы: Теория вероятностей, Комбинаторика

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная